Вопрос №1
Электрическое поле. Для объяснения природы электрических взаимодействий заряженных тел необходимо допустить наличие в окружающем заряды пространстве физического агента, осуществляющего это взаимодействие. В соответствии с теорией близкодействия , утверждающей, что силовые взаимодействия между телами осуществляются через посредство особой материальной среды, окружающей взаимодействующие тела и передающей любые изменения таких взаимодействий в пространстве с конечной скоростью, таким агентом является электрическое поле .
Электрическое поле создается как неподвижными, так и движущимися зарядами. О наличии электрического поля можно судить, прежде всего, по его способности оказывать силовое действие на электрические заряды, движущиеся и неподвижные, а также по способности индуцировать электрические заряды на поверхности проводящих нейтральных тел.
Поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами, называют стационарным электрическим , или электростатическим полем. Оно представляет собой частный случай электромагнитного поля , посредством которого осуществляются силовые взаимодействия между электрически заряженными телами, движущимся в общем случае произвольным образом относительно системы отсчета.
Напряженность электрического поля. Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряженные тела служит векторная величина E , называемая напряжённостью электрического поля .
E = F / q пр.
Она определяется отношением силы F , действующей со стороны поля на точечный пробный заряд q пр, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине этого заряда.
Понятие «пробный заряд» предполагает, что этот заряд не участвует в создании электрического поля и так мал, что не искажает его, т. е. не вызывает перераспределения в пространстве зарядов, создающих рассматриваемое поле. В системе СИ единицей напряженности служит 1 В / м, что эквивалентно 1 Н / Кл.
Напряженность поля точечного заряда. Используя закон Кулона найдем выражение для напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом q в однородной изотропной среде на расстоянии r от заряда:
В этой формуле r – радиус-вектор, соединяющий заряды q и q пр. Из (1.2) следует, что напряжённость E поля точечного заряда q во всех точках поля направлена радиально от заряда при q > 0 и к заряду при q < 0.
Принцип суперпозиции.
Напряжённость поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов q
1 , q
2 , q
3 , ¼, q n
, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности:
, где r i
– расстояние между зарядом q i
и рассматриваемой точкой поля.
Принцип суперпозиции , позволяет рассчитывать не только напряжённость поля системы точечных зарядов, но и напряженность поля в системах, где имеет место непрерывное распределение заряда. Заряд тела можно представить как сумму элементарных точечных зарядов dq .
При этом, если заряд распределен с линейной плотностью t, то dq = tdl ; если заряд распределен с поверхностной плотностью s, то dq = dl и dq = rdl , если заряд распределен с объёмной плотностью r.
Вопрос №2
Поток вектора электрической индукции. Поток вектора электрической индукцииопределяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля
dF D = D dS
В определениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, что для каждой поверхности можно задать две нормали противоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль.
Теорема Гаусса.
Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q, находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен
Составляющую dS D = dS cosa элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r, в центре которой расположен заряд q.
Учитывая, что dS D / r 2 равен элементарному телесному углу dw, под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS, преобразуем выражение (1.4) к виду dF D = q dw / 4p, откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4p, получим
Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.
Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q, то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S 1 и S 2 . Поток вектора D через поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S 1 и S 2:
.
Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w. Поэтому потоки равны
Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используется внешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф 1D < 0, тогда как поток Ф 2D > 0. Суммарный поток Ф D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.
Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q 1 , q 2 ,¼, q n , которая охватывается замкнутой поверхностью S, то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:
Следует отметить, что заряды q i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие - заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S, электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S:
Это выражение является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности 
.
Вопрос №3
Потенциальная энергия заряда в электрическом поле.
Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q
из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда: 
, где W
п1 и W
п2 – потенциальные энергии заряда q
в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q
в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q
, изменение потенциальной энергии равно 
. При конечном перемещении заряда q
из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r
1 и r
2 от заряда Q
, . Если поле создано системой точечных зарядов Q
1 , Q
2 ,¼, Q
n , то изменение потенциальной энергии заряда q
в этом поле: 
. Приведённые формулы позволяют найти только изменение
потенциальной энергии точечного заряда q
, а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q
, находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q
, получим
, где C
– произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q
(при r
® ¥), тогда постоянная C
= 0 и предыдущее выражение принимает вид . При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную
.В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q
:
.
Потенциальная энергия системы точечных зарядов.
В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i
(i
= 1, 2, ... , n
). Энергиявзаимодействия всех n
зарядов определится соотношением, где r ij -
расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.
Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля , определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, j = W п / q , откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).
Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e: .
Принцип суперпозиции.
Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q
1, Q
2 ¼, Q n
имеем, где r i
- расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j, до заряда Q i
. Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то, где r
- расстояние от элементарного объема dx
, dy
, dz
до точки (x
, y
, z
), где определяется потенциал; V
- объем пространства, в котором распределен заряд.
Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q (j 1 - j 2).
Определение удобно записать следующим образом:
Вопрос №4
Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q : dA = q E dl , эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q : dA = - dW п = - q d ,где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl . Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат
E x dx + E y dy + E z dz = -d , (1.8)
где E x , E y , E z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
откуда .
Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.
E = - grad = -Ñ .
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М , положение которой определяется радиус-вектором r , равен = q / 4pe 0 er . Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E , а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора
. Проекция же градиента потенциала на направление вектора t
, перпендикулярного вектору r
, равна 
,
т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const).
В рассмотренном случае направление вектора r
совпадает с направлением
силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков
. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.
При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. Здесь приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали - штриховыми.
Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению.
Вопрос №5
Если проводнику сообщить избыточный заряд, то этот заряд распределится по поверхности проводника . Действительно, если внутри проводника выделить произвольную замкнутую поверхность S , то поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность должен быть равен нулю. В противном случае внутри проводника будет существовать электрическое поле, что приведет к перемещению зарядов. Следовательно, для того, чтобы выполнялось условие
Суммарный электрический заряд внутри этой произвольной поверхности должен равняться нулю.
Напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника можно определить, используя теорему Гаусса. Для этого выделим на поверхности проводника малую произвольную площадку dS
и, считая ее за основание, построим на ней цилиндр с образующей dl
(рис. 3.1). На поверхности проводника вектор Е
направлен по нормали к этой поверхности. Поэтому поток вектора Е
через боковую поверхность цилиндра из-за малости dl
равен нулю. Поток этого вектора через нижнее основание цилиндра, находящееся внутри проводника, также равен нулю, так как внутри проводника электрическое поле отсутствует. Следовательно, поток вектора Е
через всю поверхность цилиндра равен потоку через его верхнее основание dS "
: , где Е n - проекция вектора напряженности электрического поля на внешнюю нормаль n
к площадке dS
. 
По теореме Гаусса, этот поток равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых поверхностью цилиндра, отнесенной к произведению электрической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости среды, окружающей проводник. Внутри цилиндра находится заряд , где - поверхностная плотность зарядов. Следовательно 
и , т. е. напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности электрических зарядов, находящихся на этой поверхности.
Экспериментальные исследования распределения избыточных зарядов на проводниках различной формы показали, что распределение зарядов на внешней поверхности проводника зависит только от формы поверхности : чем больше кривизна поверхности (чем меньше радиус кривизны), тем больше поверхностная плотность заряда.
Вблизи участков с малыми радиусами кривизны, особенно около острия, из-за высоких значений напряженности происходит ионизация газа, например, воздуха. В результате одноименные с зарядом проводника ионы движутся в направлении от поверхности проводника, а ионы противоположного знака к поверхности проводника, что приводит к уменьшению заряда проводника. Это явление получило название стекания заряда .
На внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные заряды отсутствуют .
Если заряженный проводник привести в соприкосновение с внешней поверхностью незаряженного проводника, то заряд будет перераспределяться между проводниками до тех пор, пока их потенциалы не станут равными.
Если же тот же заряженный проводник касается внутренней поверхности полого проводника, то заряд передается полому проводнику полностью.
В заключение отметим еще одно явление, присущее только проводникам. Если незаряженный проводник поместить во внешнее электрическое поле, то его противоположные части в направлении поля будут иметь заряды противоположных знаков. Если, не снимая внешнего поля, проводник разделить, то разделенные части будут иметь разноименные заряды. Это явление получило название электростатической индукции
.
Вопрос №8
Все вещества в соответствии с их способностью проводить электрический ток подразделяются на проводники
, диэлектрики
и полупроводники
. Проводниками называют вещества, в которых электрически заряженные частицы - носители заряда
- способны свободно перемещаться по всему объему вещества. К проводникам относятся металлы, растворы солей, кислот и щелочей, расплавленные соли, ионизированные газы.
Ограничим рассмотрение твердыми металлическими проводниками
, имеющими кристаллическую структуру
. Эксперименты показывают, что при очень малой разности потенциалов, приложенной к проводнику, содержащиеся в нем электроны проводимости, приходят в движение и перемещаются по объему металлов практически свободно.
В отсутствие внешнего электростатического поля электрические поля положительных ионов и электронов проводимости взаимно скомпенсированы, так что напряженность внутреннего результирующего поля равна нулю.
При внесении металлического проводника во внешнее электростатическое поле с напряженностью Е 0
на ионы и свободные электроны начинают действовать кулоновские силы, направленные в противоположные стороны. Эти силы вызывают смещение заряженных частиц внутри металла, причем в основном смещаются свободные электроны, а положительные ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, практически не меняют своего положения. В результате внутри проводника возникает электрическое поле с напряженностью Е "
.
Смещение заряженных частиц внутри проводника прекращается тогда, когда суммарная напряженность поля Е
в проводнике, равная сумме напряженностей внешнего и внутреннего полей, станет равной нулю: 
Представим выражение, связывающее напряженность и потенциал электростатического поля, в следующем виде:
где Е
- напряженность результирующего поля внутри проводника; n
- внутренняя нормаль к поверхности проводника. Из равенства нулю результирующей напряженности Е
следует, что в пределах объема проводника потенциал имеет одно и то же значение
: .
Полученные результаты позволяют сделать три важных вывода:
1. Во всех точках внутри проводника напряженность поля , т. е. весь объем проводника эквипотенциален
.
2. При статическом распределении зарядов по проводнику вектор напряженности Е
на его поверхности должен быть направлен по нормали к поверхности , в противном случае под действием касательной к поверхности проводника компоненты напряженности заряды должны перемещаться по проводнику.
3. Поверхность проводника также эквипотенциальна, так как для любой точки поверхности
Вопрос №10
Если два проводника имеют такую форму, что создаваемое ими электрическое поле сосредоточено в ограниченной области пространства, то образованная ими система носит название конденсатора
, а сами проводники называют обкладками
конденсатора.
Сферический конденсатор.
Два проводника, имеющие форму концентрических сфер с радиусами R
1 и R
2 (R
2 > R
1), образуют сферический конденсатор. Используя теорему Гаусса, легко показать, что электрическое поле существует только в пространстве между сферами. Напряженность этого поля 
,
где q
- электрический заряд внутренней сферы; - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками; r
- расстояние от центра сфер, причем R
1 r R
2 . Разность потенциалов между обкладками 
и емкость сферического конденсатора .
Цилиндрический конденсатор
представляет собой два проводящих коаксиальных цилиндра радиусами R
1 и R
2 (R
2 > R
1). Пренебрегая краевыми эффектами на торцах цилиндров и считая, что пространство между обкладками заполнено диэлектрической средой с относительной проницаемостью , напряженность поля внутри конденсатора можно найти по формуле: 
,
где q
- заряд внутреннего цилиндра; h
- высота цилиндров (обкладок); r
- расстояние от оси цилиндров. Соответственно, разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора и его емкость есть 
. .
Плоский конденсатор.
Две плоские параллельные пластины одинаковой площади S
, расположенные на расстоянии d
друг от друга, образуют плоский конденсатор
. Если пространство между пластинами заполнено средой с относительной диэлектрической проницаемостью , то при сообщении им заряда q
напряженность электрического поля между пластинами равна , разность потенциалов равна . Таким образом, емкость плоского конденсатора .
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов.
При последовательном соединении n конденсаторов суммарная емкость системы равна
Параллельное соединение n конденсаторов образует систему, электроемкость которой можно вычислить следующим образом:
Вопрос №11
Энергия заряженного проводника. Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды dq , одинаковы и равны потенциалу проводника. Заряд q , находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов dq . Тогда энергия заряженного проводника
Приняв во внимание определение емкости, можно записать
Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника.
Энергия заряженного конденсатора.
Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q
, равен , а потенциал обкладки, на которой находится заряд -q
, равен . Энергия такой системы
Энергию заряженного конденсатора можно представить в виде
Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает
Частное U
/ d
равно напряженности поля в зазоре; произведение S
·d
представляет собой объем V
, занимаемый полем. Следовательно, 
Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии d много меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w . Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна
C учетом соотношения можно записать
В изотропном диэлектрике направления векторов D
и E
совпадают и
Подставим выражение , получим
Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поля Е . В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов q i на величину dr i , составляет
Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р
. Следовательно, .
Вектор P
связан с вектором E
соотношением . Подставив это выражение в формулу для работы, получим
Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика .
Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V
. Для этого нужно вычислить интеграл: 
Плотность энергии электростатического поля
Используя (66), (50), (53), преобразуем формулу для энергии конденсатора следующим образом: , где - объём конденсатора. Разделим последнее выражение на : 
. Величина имеет смысл плотности энергии электростатического поля.
Вопрос №12
Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется под действием этого поля. Поляризацией диэлектрика называется процесс приобретения им отличного от нуля макроскопического дипольного момента.
Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P ). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика,
где N
- число молекул в объеме . Поляризованность P
часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса.
В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов).
Электронный тип поляризации
характерен для диэлектриков с неполярными молекулами. Во внешнем электрическом поле положительные заряды внутри молекулы смещаются по направлению поля, а отрицательные в противоположном направлении, в результате чего молекулы приобретают дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля
Индуцированный дипольный момент молекулы пропорционален напряженности внешнего электрического поля , где - поляризуемость молекулы. Значение поляризованности в этом случае равно , где n
- концентрация молекул ; - индуцированный дипольный момент молекулы, который одинаков для всех молекул и направление которого совпадает с направлением внешнего поля.
Ориентационнный тип поляризации
характерен для полярных диэлектриков. В отсутствие внешнего электрического поля молекулярные диполи ориентированы случайным образом, так что макроскопический электрический момент диэлектрика равен нулю.
Если поместить такой диэлектрик во внешнее электрическое поле, то на молекулу-диполь будет действовать момент сил (рис. 2.2), стремящийся ориентировать ее дипольный момент в направлении напряженности поля. Однако полной ориентации не происходит, поскольку тепловое движение стремится разрушить действие внешнего электрического поля.
Такая поляризация называется ориентационной. Поляризованность в этом случае равна , где <p
> - среднее значение составляющей дипольного момента молекулы в направлении внешнего поля.
Решеточный тип поляризации
характерен для ионных кристаллов. В ионных кристаллах (NaCl и т.д.) в отсутствие внешнего поля дипольный момент каждой элементарной ячейки равен нулю (рис. 2.3.а), под влиянием внешнего электрического поля положительные и отрицательные ионы смещаются в противоположные стороны (рис. 2.3.б). Каждая ячейка кристалла становится диполем, кристалл поляризуется. Такая поляризация называется решеточной
. Поляризованность и в этом случае можно определить как , где - значение дипольного момента элементарной ячейки, n
- число ячеек в единице объема.
Поляризованность изотропных диэлектриков любого типа связана с напряженностью поля соотношением , где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.
Вопрос №13
Поляризованность среды обладает примечательным свойством: поток вектора поляризованности среды через произвольную замкнутую поверхность численно равен величине некомпенсированных "связанных" зарядов внутри этой поверхности, взятой с обратным знаком:
(1). В локальной формулировке описываемое свойство описывается соотношением
(2) , где - объемная плотность "связанных" зарядов. Эти соотношения называют теоремой Гаусса для поляризованности среды (вектора поляризации) в интегральной и дифференциальной формах соответственно. Если теорема Гаусса для напряженности электрического поля является следствием закона Кулона в "полевой" форме, то теорема Гаусса для поляризованности является следствием определения этой величины.
Докажем соотношение (1), тогда соотношение (2) окажется справедливым в силу математической теоремы Остроградского-Гаусса.
Рассмотрим диэлектрик из неполярных молекул с объемной концентрацией последних, равной . Считаем, что под действием электрического поля положительные заряды сместились из положения равновесия на величину , а отрицательные - на величину . Каждая молекула приобрела электрический момент 
, а единичный объем приобрел электрический момент . Рассмотрим произвольную достаточно гладкую замкнутую поверхность в описываемом диэлектрике. Допустим, что поверхность проведена так, что в отсутствие электрического поля она "не пересекает" отдельные диполи, то есть положительный и отрицательный заряды, связанные с молекулярной структурой вещества, "компенсируют" друг друга.
Заметим, кстати, что соотношения (1) и (2) при и удовлетворяются тождественно.
Под действием электрического поля элемент площади поверхности пересекут положительные заряды из объема в количестве . Для отрицательных зарядов имеем соответственно величины и . Суммарный заряд, перешедший на "внешнюю" сторону элемента площади поверхности (напомним, что - внешняя нормаль к по отношению к охватываемому поверхностью объему) равен
Свойства вектора поляризованности среды
Проинтегрировав полученное выражение по замкнутой поверхности , получим величину суммарного электрического заряда, покинувшего рассматриваемый объем. Последнее позволяет заключить, что в рассматриваемом объеме остался некомпенсированный заряд - , равный по модулю ушедшему заряду. В итоге имеем: 
, таким образом теорема Гаусса для векторного поля в интегральной формулировке доказана.
Чтобы рассмотреть случай вещества, состоящего из полярных молекул, достаточно в приведенных выше рассуждениях величину заменить на ее среднее значение .
Доказательство справедливости соотношения (1) можно считать законченным.
Вопрос №14
В диэлектрической среде могут присутствовать электрические заряды двух типов: "свободные" и "связанные". Первые из них не связаны с молекулярной структурой вещества и, как правило, могут относительно свободно перемещаться в пространстве. Вторые связаны с молекулярной структурой вещества и под действием электрического поля могут смещаться из положения равновесия, как правило, на очень малые расстояния.
Использование напрямую теоремы Гаусса для векторного поля при описании диэлектрической среды неудобно тем, что правая часть формулы
(1), содержит как величину "свободного", так и величину "связанного" (некомпенсированного) зарядов внутри замкнутой поверхности .
Если соотношение (1) почленно сложить с соотношением , получим 
, (2)
где - суммарный "свободный" заряд объема, охватываемого замкнутой поверхность . Соотношение (2) обуславливает целесообразность введения специального вектора
В качестве удобной расчетной величины, характеризующей электрическое поле в диэлектрической среде. Вектор раньше называли вектором электрической индукции или вектором электрического смещения. В настоящее время входит в употребление термин "вектор ". Для векторного поля справедлива интегральная форма теоремы Гаусса: 
и, соответственно, дифференциальная форма теоремы Гаусса:
где - объемная плотность свободных зарядов.
Если справедливо соотношение (для жестких электретов оно не справедливо), то для вектора из определения (3) следует ,
где - диэлектрическая проницаемость среды, одна из важнейших электрических характеристик вещества. В электростатике и квазистационарной электродинамике величина является действительной. При рассмотрении высокочастотных колебательных процессов фаза колебания вектора , а значит и вектора , может не совпадать с фазой колебаний вектора , в таких случаях величина становится комплекснозначной величиной.
Рассмотрим вопрос, при каких условиях в диэлектрической среде возможно появление некомпенсированной объемной плотности связанных зарядов. Для этой цели запишем выражение вектора поляризации через диэлектрическую проницаемость среды и вектор :
В справедливости которого легко убедиться. Теперь представляющая интерес величина может быть вычислена:
(3)
В отсутствие в диэлектрической среде объемной плотности свободных зарядов величина может обратиться в нуль, если
а) отсутствует поле ; или б) среда однородна или в) векторы и - ортогональны. В общем случае необходимо вычислить величину по соотношениям (3).
Вопрос №17
Рассмотрим поведение векторов E
и D
на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков с проницаемостями и при отсутствии на границе свободных зарядов.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E
следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы.
Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность
Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра
, где - значение касательной составляющей усредненное по боковой поверхности . Переходя к пределу при (при этом также стремится к нулю), получаем 
, или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции . Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим 
. Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора терпит разрыв
, а нормальная составляющая вектора непрерывна
.
Граничные условия для касательных составляющих векторов D и E
следуют из соотношения, описывающего циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Построим вблизи границы раздела прямоугольный замкнутый контур длины l
и высоты h
. Учитывая, что для электростатического поля , и обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E
в следующем виде: 
,
где - среднее значение E n на боковых сторонах прямоугольника. Переходя к пределу при , получим для касательных составляющих E .
Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет вид 
Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред касательная составляющая вектора непрерывна
, а касательная составляющая вектора терпит разрыв
.
Преломление линий электрического поля.
Из граничных условий для соответствующих составляющих векторов E
и D
следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 2.8). Разложим векторы E 1
и E 2
у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами и при условии . Легко видеть, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения
.
При переходе в среду с меньшим значением угол, образуемый линиями напряженности (смещения) с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже. При переходе в среду с большей линии векторов E
и D
, напротив, сгущаются и удаляются от нормали
.
Вопрос №6
Теорема о единственности решения задач электростатики (заданы расположения проводников и их заряды).
Если задано расположение проводников в пространстве и полный заряд каждого из проводников, то вектор напряжённости электростатического поля в каждой точке определяется единственным образом. Док-во: (от противного)
Пусть заряд на проводниках распределён следующим образом:
Предположим, что возможно не только такое, но и отличное от него распределение зарядов:
(то есть отличается сколь угодно мало хотя бы на одном проводнике)
Значит хотя бы в одной точке пространства отыщется иной вектор E, т.е. вблизи новых значений плотности по крайней мере в каких-то точках E будет отлично. Т.о. при тех же самых начальных условиях, при тех же самых проводниках получим другое решение. Теперь поменяем знак заряда на противоположный.
(менять знак надо сразу на всех проводниках)
Вид силовых линий при этом не изменится (не противоречит ни теореме Гаусса, ни теореме о циркуляции), изменится только их направление и вектора E.
Теперь возьмём суперпозицию зарядов (комбинацию двух вариантов зарядов):
(т.е. наложим один заряд на другой, и зарядим уже 3-им способом)
Если не совпадает хотя бы где-то с , то хотя бы в одном месте получим какое-то
3) уводим линии в бесконечность, не замыкая их на проводнике. при этом замкнутый контур L замыкаем на бесконечности. Но и вэтом случае обход по силовой линии не даст нулевой циркуляции.
Вывод: значит не может быть какой-либо отличной о нуля, значит распределение зарядов установлено единственным образом –> единственность решения, т.е. E – находим единственным образом.
Вопрос №7
Билет 7. Теорема о единственности решения задач электростатики. (заданы расположения проводников и их потенциалы). Если задано расположение проводников и потенциал каждого из них, то напряжённость электростатического поля в каждой точке находится единственным образом.
(Берклеевский курс)
Всюду вне проводника функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных: , или, иначе, (2)
Очевидно, что W не удовлетворяет граничным условиям. У поверхности каждого проводника функция W равна нулю, так как и принимают одинаковое значение у поверхности проводника. Следовательно W является решением другой электростатической задачи, с теми же проводниками, но при условии, что все проводники имеют нулевой потенциал. Если это так, то можно утверждать, что функция W равна нулю во всех точках пространства. Если это не так, то она должна иметь где-то максимум или минимум. Путь W имеет экстремум в точке P, рассмотрим тогда шар с центром в этой точке. Нам известно, что среднее значение по сфере функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа, равно значению функции в центре. Это несправедливо, если центр является максимум или минимумом этой функции. Таким образом, W не может иметь максимума или минимума, она всюду должна быть равна нулю. Отсюда следует, что =
Вопрос №28
Трм. о циркуляции в-ра I
.
I – вектор намагниченности. I = = N p 1 м = Nn i 1 S \ c
DV = Sdl cosα; di мол = i 1 мол NSdl cosα = cIdl cosα, N – число мол-л на 1см 3 . Вблизи контура считаем вещество однородным, т.е все диполи, все молекулы имеют одинаковый магнитный момент. Для подсчета возьмем молекулу, я дро которой расположено прямо на контуре dl. Надо посчитать, сколько атомов пересекут цилиндрик 1 раз => Это такие, чьи центры лежат внутри этого самого воображ цилиндра. Таким образом нас интересует только i мол – т.е. ток, пересекающий поверхность, опирающуюся на контур.
Вопрос №9
1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические силы взаимодействия консервативны; следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов и , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:
где и - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом в точке нахождения заряда и зарядом в точке нахождения заряда . Согласно формуле (8.3.6),
Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды , , …, можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна
где - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме i-го.
2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны q, C, . Увеличим заряд этого проводника на dq. Для этого необходимо перенести заряд dq из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную
Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до , необходимо совершить работу
Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:
Формулу (8.12.3.) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным , из (8.12.1.) найдем
где - заряд проводника.
3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (8.12.3.) равна
где q - заряд конденсатора, C - его емкость, - разность потенциалов между обкладками.
4. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу (8.12.4.), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора и разности потенциалов между его обкладками (). Тогда получим
где V=Sd - объем конденсатора. Формула (8.12.5.) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - напряженность Е .
Формулы (8.12.4.) и (8.12.5.) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энергии и что является ее носителем - заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т.е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на поставленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия о локализации энергии в поле и что носителем энергии является поле.
Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)
Выражение (8.12.6.) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение: .
Лекция 8. Энергия электрического поля
Понятие энергии электрического поля неразрывно связано с понятиями её накопления и расходования. Отсюда следует, что должны быть рассмотрены и накопители этой энергии – электрические конденсаторы. Существенно при этом понимание школьниками, насколько большая энергия может быть сосредоточена в сравнительно небольшом объёме современного конденсатора. Особую значимость имеют эксперименты, показывающие, в каких процессах эта энергия может быть использована для практических нужд.
Изучение электрической ёмкости и конденсаторов позволяет сопоставить примитивные, но принципиально важные методы электростатики с возможностями современных электроизмерительных приборов. К ним, в частности, относятся широко распространённые в быту цифровые мультиметры, позволяющие измерять ёмкости от единиц пикофарад. Поэтому можно сначала оценивать ёмкость и диэлектрическую проницаемостьметодами электростатики, а затем более точно измерять эти величины с помощью мультиметра.
Интересной методической проблемой является обоснование целесообразности введения понятия электроёмкости уединённого проводника и разработка оптимальной методики формирования этого понятия.
Сформировать понятие энергии электрического поля в полном объёме на уроках физики вряд ли удастся. Поэтому в классах профильного обучения необходимы внеурочные исследования учащихся.
8.1. Электроёмкость уединённого проводника
Выполняя исследования, учащиеся, конечно, заметили, что проводники могут накапливать и сохранять электрические заряды. Это свойство проводников характеризуется электрической ёмкостью. Выясним, как зависит потенциал уединённого проводника от его заряда. Потенциал можно измерять относительно бесконечно удалённой точки. На практике удобнее измерять потенциалы заряженных тел относительно земли.
На стержень электрометра наденем
полый проводящий шар, и корпус электрометра
соединим с заземлением. Электрометр будем
использовать в качестве электростатического
вольт-метра, измеряющего потенциал шара
относительно земли или, что то же самое, разность
потенциалов между шаром и землёй. 
Пробным шариком, прикоснувшись к кондуктору источника электричества, перенесём внутрь шара некоторый заряд q . Стрелка электростатического вольтметра отклонится, показывая определённый потенциал . Повторим опыт, сообщая полому шару заряды 2q , 3q ... Обнаруживаем, что стрелка вольтметра отклоняется, показывая значения 2, 3...
Таким образом, отношение заряда Q проводящего тела к его потенциалу остаётся постоянным и характеризует электроёмкость проводника:
Заменим полый шар электрометра другим, например, меньшего размера, и повторим опыт. Наблюдаем, что при сообщении ему тех же зарядов q , 2q , 3q , ... вольтметр показывает значения, растущие пропорционально заряду, но бльшие, чем в предыдущей серии опытов. Значит, ёмкость C = Q / этого шара меньше.
В системе СИ электрическая ёмкость выражается в фарадах : 1 Ф = 1 Кл/1 В.
8.2. Электроёмкость сферического проводника
Пусть в среде с диэлектрической проницаемостью находится сферический проводник радиусом R . Если потенциал в бесконечности считать равным нулю, то потенциал заряженной сферы
Тогда электрическая ёмкость сферы радиусом R
есть 
Таким
образом, ёмкость уединённого проводящего шара
пропорциональна его радиусу.
Простые опыты показывают, что тела, несущие электрический заряд, можно считать уединёнными в том случае, если окружающие тела не вызывают значительного перераспределения заряда на них.
8.3. Конденсатор
Изготовим конденсатор из двух одинаковых проводящих пластин, расположенных параллельно, и соединим его с электрометром, выполняющим функцию вольтметра. На стержень электрометра насадим полую проводящую сферу. Зарядим одну из пластин пробным шариком, перенеся им заряд q с наэлектризованной эбонитовой палочки или иного источника электричества. При этом вольтметр покажет некоторое напряжение U между пластинами.
Будем переносить внутрь полой сферы, а значит, и на пластину конденсатора равные заряды. При этом увидим, что показания вольтметра увеличиваются на равные значения. Значит, система двух проводящих пластин обладает ёмкостью
и может выполнять функцию конденсатора – накопителя электрического заряда. Подчеркнём, что здесь q – заряд одной из пластин конденсатора.
8.4. Ёмкость плоского конденсатора
Вычислим теоретически электрическую ёмкость
плоского конденсатора. Напряжён ность поля,
создаваемого одной из его пластин 
где – поверхностная плотность заряда на
пластине. Согласно принципу суперпозиции
напряжённость электрического поля между
пластинами конденсатора в два раза больше (см.
исследование 5.7): 
Так как поле однородное, то разность
потенциалов между пластинами, расположенными на
расстоянии d
друг от друга, равна 
Отсюда ёмкость плоского
конденсатора есть :
Подтвердим теорию экспериментом. Для этого соберём плоский конденсатор, зарядим его и соединим пластины с электростатическим вольтметром. Оставив заряд конденсатора неизменным, будем менять остальные его параметры, наблюдая за вольтметром, показания которого обратно пропорциональны ёмкости конденсатора:
Увеличение расстояния d между пластинами конденсатора ведёт к пропорциональному увеличению напряжения между ними, значит, ёмкость конденсатора С ~ 1/d . Смещая пластины друг относительно друга так, чтобы они оставались параллельными, будем увеличивать площадь перекрытия пластин S . При этом в той же степени уменьшается напряжение между ними, т.е. растёт ёмкость конденсатора: С ~ S . Заполним промежуток между пластинами диэлектриком с диэлектрической проницаемостью и увидим, что показания вольтметра уменьшатся в раз, т.е. С ~ .
Так как заряд системы оставался неизменным, то можно сделать вывод, что ёмкость конденсатора прямо пропорциональна площади перекрытия пластин, обратно пропорциональна расстоянию между ними и зависит от свойств среды, т.е. С ~ S /d , что и подтверждает формулу (8.2). Значение электрической постоянной 0 получаем, измерив в опытах U , q , d , S , и вычислив ёмкость один раз по формуле (8.1), а другой – по формуле (8.2).
8.5. Параллельное соединение конденсаторов
При параллельном соединении двух конденсаторов ёмкостями С 1 и С 2 напряжения на них одинаковы и равны U , а заряды q 1 и q 2 различны. Понятно, что общий заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов q = q 1 + q 2 , а её ёмкость:
(8.3)
8.6. Последовательное соединение конденсаторов
К батарее из двух последовательно соединённых конденсаторов подключим электростатический вольтметр с полой сферой. Сообщим соединённой с вольтметром обкладке первого конденсатора заряд +q . По индукции вторая обкладка этого конденсатора приобретёт заряд –q , а соединённая с ней проводником обкладка второго конденсатора – заряд +q . В результате оба конденсатора будут нести одинаковый заряд q . При этом напряжения на конденсаторах различны. Понятно, что сумма напряжений на каждом из конденсаторов равна общему напряжению батареи:
Но U = q /С , U 1 = q /С 1 , U 2 = q /С 2 , поэтому ёмкость батареи определяется формулой
8.7. Энергия плоского конденсатора
Сообщим одной из пластин плоского конденсатора заряд q такой величины, чтобы разность потенциалов между пластинами стала равна U . Если расстояние между пластинами d , то напряжённость электрического поля в конденсаторе Е = U /d .
Одна из пластин конденсатора с зарядом q находится в созданном второй пластиной однородном электрическом поле напряжённостью Е /2, поэтому на неё действует сила притяжения ко второй пластине f = qE /2. Потенциальная энергия заряда q в этом поле равна работе, которую совершает электрическое поле при сближении пластин конденсатора вплотную:
Подставляя в это равенство значение Ed
= U
и пользуясь формулой (8.1), получаем, что
энергия электрического поля между пластинами
конденсатора:
(8.5)
8.8. Энергия произвольного конденсатора
Полученная формула справедлива не только для плоского, но и вообще для любого конденсатора. Действительно, напряжение на конденсаторе данной ёмкости прямо пропорционально его заряду U = q/C. Если заряд изменился на малую величину q , то электрическое поле совершило работу А = U q . Полная работа поля, очевидно, равна площади под графиком:
Ситуация не изменится, если вместо конденсатора использовать уединённый проводник. Его потенциал (относительно бесконечности) равен = q/С , поэтому энергия электрического поля
8.9. Экспериментальное определение энергии, запасённой конденсатором
Энергию конденсатора будем измерять по тепловому действию. В пробирке расположим тонкую металлическую спираль. Пробирку закроем пробкой с капиллярной трубкой, внутри которой находится капля воды. Мы получили газовый термометр – прибор, в котором смещение капли в трубке пропорционально количеству теплоты, выделившемуся в пробирке. К спирали через разрядный промежуток из двух металлических шариков подключим конденсатор, параллельно которому подсоединим электрометр с полым шаром. Для заряда конденсатора будем использовать любой источник электричества и металлический шарик на изолирующей ручке.
Зарядим конденсатор до некоторого напряжения и, сблизив шарики, разрядим его через спираль. При этом капля в трубке переместится на определённое расстояние. Так как разряд происходит быстро, то процесс нагревания воздуха в пробирке можно считать адиабатическим, т.е. происходящим без теплообмена с окружающей средой.
Подождём, пока воздух в пробирке охладится, а капля вернётся в исходное положение. Увеличим напряжение в два, а затем в три раза. После разрядов капля переместится на расстояние, соответственно в четыре и девять раз превышающее первоначальное. Заменим конденсатор на другой, ёмкость которого в два раза больше, и зарядим его до исходного напряжения. Тогда при разряде капля переместится в два раза дальше.
Таким образом, опыт подтверждает справедливость формулы (8.5) W = СU 2 /2, согласно которой энергия, запасённая в конденсаторе, пропорциональна его ёмкости и квадрату напряжения.
8.10. Плотность энергии электрического поля
Выразим энергию электрического поля между обкладками конденсатора такой формулой, чтобы в ней не было величин, характеризующих сам конденсатор, и остались бы только величины, характеризующие поле. Понятно, что этого можно достичь только одним способом: вычислить энергию поля, приходящуюся на единицу объёма. Так как напряжение на конденсаторе U = Ed , а его ёмкость то подстановка этих выражений в формулу (8.5) даёт:
Величина Sd
представляет собой объём V
электрического поля в конденсаторе. Поэтому
плотность энергии электрического поля 
пропорциональна
квадрату его напряжённости.
Исследование 8.1. Измерение ёмкости плоского конденсатора с помощью мультиметра
Информация. В последние годы стали доступны цифровые мультиметры самых различных типов. Эти приборы в принципе позволяют измерять напряжение, силу тока, сопротивление, температуру, ёмкость, индуктивность, определять параметры транзисторов. Перечень измеряемых мультиметром величин определяется типом мультиметра. Нас сейчас интересуют мультиметры, допускающие измерение ёмкости; к ним относятся, например, приборы типов М890G и DТ9208А. Для определённости в дальнейшем мы будем иметь в виду последний прибор.
Проблема. Как экспериментально подтвердить справедливость теоретически полученной формулы для ёмкости конденсатора?
Задание. Разработайте демонстрационный эксперимент, позволяющий на уроке подтвердить справедливость формулы (8.2) для ёмкости плоского конденсатора с воздушным диэлектриком.
Вариант выполнения.
Соберите плоский конденсатор из
круглых пластин, входящих в комплект приборов по
электростатике, и подключите к нему мультиметр.
Линейкой измерьте диаметр пластин и расстояние
между ними. По формуле (8.2) вычислите ёмкость
конденсатора и сравните получившееся значение с
измеренным. В демонстрационном опыте могут
получиться, например, следующие результаты:
диаметр пластин конденсатора D
= 0,23 м,
расстояние между пластинами d
= 0,01 м,
вычисленная по формуле ёмкость: 
мультиметр показывает
такое же значение.
Изменяйте расстояние между пластинами, площадь перекрытия пластин конденсатора и вводите между ними различные диэлектрики. При этом соответствующим образом изменяются измеренные мультиметром значения ёмкости конденсатора. Вместе с учащимися проанализируйте результаты опыта и сделайте вывод относительно справедливости формулы (8.2).
Исследование 8.2. Определение диэлектрической проницаемости методом измерения ёмкости
Задание. Используя цифровой мультиметр, определите диэлектрические проницаемости различных веществ.
Вариант выполнения.
Соберите
плоский конденсатор с воздушным диэлектриком,
измерьте расстояние d
между обкладками и
ёмкость С
0 конденсатора. Измерьте
толщину l
плоскопараллельной пластины
диэлектрика, аккуратно введите диэлектрик между
обкладками и мультиметром измерьте ёмкость С
.
По формуле 
вычислите диэлектрическую проницаемость
вещества. Подскажите учащимся, как выводится эта
формула. Измерьте диэлектрические проницаемости
стекла, оргстекла, винипласта, текстолита,
полиэтилена и т.д. Сравните получившиеся
значения с табличными.
Исследование 8.3. Параллельное и последовательное соединения конденсаторов
Задание. Используя цифровой мультиметр, подтвердите справедливость формул (8.3) и (8.4) для ёмкости параллельно и последовательно соединённых конденсаторов.
Вариант выполнения
. 
Подберите радиотехнические конденсаторы ёмкостью от десятков пикофарад до десятков нанофарад и с помощью мультиметра определите их ёмкости. Обратите внимание на то, что измеренные значения, как правило, не совпадают с обозначенными на корпусах конденсаторов. Это объясняется тем, что допустимая погрешность ёмкости радиотехнических конденсаторов достигает 20%. Конденсаторы соедините параллельно, измерьте результирующую ёмкость и убедитесь, что она равна сумме ёмкостей каждого из конденсаторов. Затем соедините конденсаторы последовательно и убедитесь, что величина, обратная результирующей ёмкости, равна сумме величин, обратных ёмкостям соединённых конденсаторов.
Учащимся можно предложить количественные задачи по вычислению ёмкости различных батарей конденсаторов с последующей проверкой решения в реальном эксперименте.
Исследование 8.4. Работа электрического поля
Задание . При поднесении заряженного тела к лежащим на поверхности лёгким шарикам они начинают подпрыгивать. Используя это явление, экспериментально покажите, что работа электрического поля по перемещению заряда пропорциональна разности потенциалов, которую прошёл этот заряд: А = qU.
Вариант выполнения
. 
Возле дна пластиковой бутылки горизонтально закрепите неподвижный плоский электрод, а над ним параллельно – подвижный электрод. К стенке бутылки приклейте шкалу с миллиметровыми делениями. Между электродами поместите пенопластовый шарик, обёрнутый тонкой алюминиевой фольгой. Электроды подключите к высоковольтному источнику. При подаче напряжения на электроды шарик начнёт подпрыгивать. Увеличивая напряжение, добейтесь того, чтобы шарик подпрыгивал на высоту h , равную расстоянию d между электродами. В этом случае работа электрического поля по перемещению заряженного шарика А = qU = mgh . Увеличьте напряжение в два раза и убедитесь, что высота h также возрастёт в два раза. Сделайте вывод из опыта.
Заметьте, что разность потенциалов выражается через напряжённость электрического поля формулой U = Ed . Так как, по условиям опыта, h = d , то на оторвавшийся от нижнего электрода шарик со стороны электрического поля действует постоянная по модулю сила F = Eq = mg .
Исследование 8.5. Электростатический двигатель
Задание. Используйте явление электрического ветра (см. исследование 7.7) для построения действующей модели электростатического двигателя.
Вариант выполнения. Первым изготовил электростатический двигатель один из основоположников учения об электричестве, выдающийся американский учёный Б.Франклин. Так называемое колесо Франклина имеется в любом кабинете физики (фото вверху).
Дома школьники могут изготовить простейшую модель такого двигателя, если на один из электродов пьезоэлектрического источника наденут вырезанную из алюминиевой фольги фигуру в форме сегнерова колеса (фото внизу). Периодически нажимая на рычаг источника, они смогут привести получившееся колесо Франклина в непрерывное вращение.
На фотографии гораздо более мощный электростатический двигатель, который способен вращать даже крыльчатку вентилятора. Прибор собран на пластиковой бутылке.
Исследование 8.6. Энергия заряженного конденсатора
Задание. Учащиеся надолго запомнят свойство конденсатора накапливать электрическую энергию, если прямо на их глазах собрать конденсатор и продемонстрировать его в работе. Предложите простой способ изготовления такого конденсатора, который способен поразить воображение школьников.
Вариант выполнения. Приготовьте две дюралевые пластины размером, например, 15 15 см. Из толстой полиэтиленовой плёнки вырежьте прямоугольник размером примерно 20 20 см и, проложив его между пластинами, соберите конденсатор. Включите высоковольтный источник, установите напряжение 10 кВ и, сблизив электроды источника, покажите проскакивающую между ними искру. Затем от того же источника при том же напряжении зарядите собранный на демонстрационном столе конденсатор. Разрядите конденсатор и покажите, что получается гораздо более мощная искра, чем при разряде между электродами источника. Обратите внимание на необходимость соблюдения правил техники безопасности при работе с конденсаторами.
Исследование 8.7. Батарея гальванических элементов
Проблема. Учащимся хорошо знакомы отдельные элементы и батареи гальванических элементов, которые широко используются в быту. Школьники знают, что эти приборы характеризуются напряжением и способны давать электрический ток. Однако напряжение указанных источников не превышает нескольких вольт, а в электростатике используются напряжения в тысячи и десятки тысяч вольт. Поэтому заряды на электродах гальванических источников практически никак себя не проявляют. Как экспериментально доказать, что на выводах батарей гальванических элементов действительно имеются электрические заряды, физическая природа которых такая же, как тех, которые обнаруживаются в опытах электростатики?
Задание. Поставьте эксперимент, позволяющий обнаружить заряды на выводах батареи гальванических элементов и определить их знак.
Вариант выполнения
. 
В комплект к электрометрам входит дисковый конденсатор, представляющий собой два металлических диска диаметром 100 мм, рабочие поверхности которых покрыты тонким слоем лака. Один из дисков имеет крепление для насадки на стержень электрометра, второй снабжён изолирующей ручкой.
Используя указанное оборудование и ориентируясь по фотографии, выполните задание.
Исследование 8.8. Оценка энергии заряженного конденсатора
Информация. Выполняя исследование 2.7, вы убедились, что энергию электрического поля можно оценить по вспышке лампы накаливания, происходящей при разряде создающих поле заряженных тел. Действительно, при разряде потенциальная энергия неподвижных зарядов переходит в кинетическую энергию движущихся зарядов, заряды нейтрализуются, и поле исчезает. Движение свободных зарядов по проводнику вызывает его нагревание.
Задание. Приготовьте две батарейки по 4,5 В, два электролитических конденсатора ёмкостью по 1000 мкФ, рассчитанных на рабочее напряжение не ниже 12 В, и четыре лампочки для карманного фонаря на напряжение 1 В. Докажите, что энергия заряженного конденсатора пропорциональна его ёмкости и квадрату напряжения.
Вопросы для самоконтроля
1. Какова методика введения и формирования понятия электрической ёмкости проводника и системы проводников?
2. Как в демонстрационном эксперименте можно обосновать справедливость формулы для ёмкости плоского конденсатора?
3. Насколько целесообразна демонстрация непосредственно на уроке сущности метода определения диэлектрической проницаемости вещества?
4. Предложите методику введения и формирования понятия плотности энергии электрического поля.
5. Разработайте серию исследовательских заданий учащимся по экспериментальному обоснованию построения электростатических двигателей.
6. Перечислите наиболее яркие опыты, демонстрирующие накопление электрической энергии конденсаторами.
7. Как доказать, что используемые в быту батареи гальванических элементов принципиально ничем не отличаются от электростатических источников электричества?
8. Какими экспериментами можно подтвердить, что энергия, запасённая в конденсаторе, пропорциональна его ёмкости и квадрату напряжения?
Литература
Бутиков Е.И. , Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3 кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.
Демонстрационный эксперимент по физике в старших классах средней школы. Т. 2. Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред. А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.
Майер В.В. , Майер Р.В. Электричество. Учебные исследования: Библиотека учителя и школьника. – М.: ФМЛ, 2007.
Шилов В.Ф. О первоочередных мерах по материально-техническому обновлению кабинета физики. – Учебная физика, 2000, № 4.
Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна. Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеем
С учетом, что
RC-цепь - электрическая цепь, состоящая из конденсатора и резистора. Она бывает дифференцирующей и интегрирующей. Вот такое соединение резистора и конденсатора называется дифференцирующей цепью или укорачивающей цепью .
При подаче на вход RC-цепи импульса напряжения конденсатора сразу же начнет заряжаться током, проходящим через него самого и резистор. Сначала ток будет максимальным, затем по мере увеличения заряда конденсатора постепенно уменьшится до нуля по экспоненте. Когда через резистор проходит ток, на нем образуется падение напряжения, которое определяется, как U=i R , где i-ток заряда конденсатора. Поскольку ток изменяется экспоненциально, то и напряжение будет изменяться также - экспоненциально от максимума до нуля. Падение напряжения на резисторе, как раз таки и является выходным. Его величину можно определить по формуле U вых = U 0 e -t/τ . Величина τ называется постоянной времени цепи и соответствует изменению выходного напряжения на 63% от исходного (e -1 = 0.37). Очевидно, что время изменения выходного напряжения зависит от сопротивления резистора и емкости конденсатора и, соответственно, постоянная времени цепи пропорциональна этим значениям, т. е. τ = RC . Если емкость в Фарадах, сопротивление в Омах, то τ в секундах.
Если поменять местами резистор и конденсатор, то получим интегрирующую цепь или удлиняющую цепь .
Выходным напряжением в интегрирующей цепи является напряжение на конденсаторе. Естественно, если конденсатор разряжен, оно равно нулю. При подаче импульса напряжения на вход цепи конденсатор начнет накапливать заряд, и накопление будет происходить по экспоненциальному закону, соответственно, и напряжение на нем будет нарастать по экспоненте от нуля до своего максимального значения. Его значение можно определить по формуле U вых = U 0 (1 - e -t/τ) . Постоянная времени цепи определяется по такой же формуле, как и для дифференцирующей цепи и имеет тот же смысл.
Для обеих цепей резистор ограничивает ток заряда конденсатора, поэтому чем больше его сопротивление, тем больше время заряда конденсатора. Также и для конденсатора, чем больше емкость, тем большее время он заряжается.
Электрический ток: виды
Постоянный ток
Постоянным током называется электрический ток, который не изменяется во времени по направлению. Источниками постоянного тока являются гальванические элементы, аккумуляторы и генераторы постоянного тока.
Переменный ток
Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени. Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния.
Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле, то оно будет действовать на его заряды, которые начнут перемещаться. Это процесс протекает очень быстро, после его завершения устанавливается равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника оказывается равным нулю. С другой стороны, отсутствие поля внутри проводника говорит об одном и том же значении потенциала в любой точке проводника, а также о том, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника перпендикулярен ей. Если бы это было не так, появилась бы составляющая вектора напряженности, направленная по касательной к поверхности проводника, что вызвало бы перемещение зарядов, и равновесное распределение зарядов нарушилось бы.
Если мы зарядим проводник, находящийся в электростатическом поле, то, заряды у него будут располагаться только на внешней поверхности, так как, в соответствии с теоремой Гаусса, из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника нулю будет равен и интеграл от вектора электрического смещения D по замкнутой поверхности, совпадающей с внешней поверхностью проводника, который, как было установлено ранее, должен быть равен заряду внутри названной поверхности, т. е. нулю. При этом возникает вопрос о том, можем ли мы сообщить такому проводнику любой, сколь угодно большой заряд, Чтобы получить ответ на этот вопрос, найдем связь между поверхностной плотностью заряда и напряженностью внешнего электростатического поля.
Выберем бесконечно малый цилиндр, пересекающий границу «проводник – воздух» так, чтобы его ось была ориентирована вдоль вектора Е . Применим к этому цилиндру теорему Гаусса. Понятно, что поток вектора электрического смещения вдоль боковой поверхности цилиндра будет равна нулю из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника. Поэтому полный поток вектора D через замкнутую поверхность цилиндра будет равен только потоку через его основание. Этот поток, равный произведению D∆S , где ∆S – площадь основания, равен суммарному заряду σ∆S внутри поверхности. Иными словами, D∆S = σ∆S , откуда следует, что
D = σ , (3.1.43)
тогда напряженность электростатического поля у поверхности проводника
E = σ /(ε 0 ε) , (3.1.44)
где ε – диэлектрическая проницаемость среды (воздуха), которая окружает проводник.
Поскольку поле внутри заряженного проводника отсутствует, то создание внутри него полости ничего не изменит, т. е. не повлияет на конфигурацию расположения зарядов на его поверхности. Если теперь проводник с такой полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет равен нулю. На этом основана электростатическая защита измерительных приборов от влияния внешних электростатических полей.
Теперь рассмотрим проводник, удаленный от других проводников, других зарядов и тел. Как нами было установлено ранее, потенциал проводника пропорционален его заряду. Опытным путем было установлено, что проводники, изготовленные из разных материалов, будучи заряженными до одного и того же заряда, обладают разными потенциалами φ . И наоборот, у проводников из разных материалов, имеющих одинаковый потенциал, различаются заряды. Поэтому мы можем записать, что Q = Cφ, где
C = Q/φ (3.1.45)
называется электроемкостью (или просто емкостью ) уединенного проводника. Единицей измерения электроемкости является фарад (Ф), 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда, равного 1 Кл.
Поскольку, как было установлено ранее, потенциал шара радиуса R в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε
φ =(1/4πε 0)Q/εR , (3.1.46)
то с учетом 3.1.45 для емкости шара получим выражение
C = 4πε 0 εR . (3.1.47)
Из 3.1.47 следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы шар в вакууме и имеющий радиус порядка 9*10 9 км, что в 1400 раз превышает радиус Земли. Это говорит о том, что 1 Ф – это очень большая электроемкость. Емкость Земли, например, всего около 0.7 мФ. По этой причине на практике пользуются миллифарадами (мФ), микрофарадами (мкФ), нанофарадами (нФ) и даже пикофарадами (пФ). Далее, поскольку ε – безразмерная величина, то из 3.1.47 получаем, что размерность электрической постоянной ε 0 – Ф/м.
Выражение 3.1.47 говорит о том, что проводник может обладать большой емкостью только при очень больших размерах. В практической же деятельности требуются устройства, которые при небольших размерах были бы способны накапливать большие заряды при сравнительно небольших потенциалах, т. е. имели бы большие емкости. Такие устройства называются конденсаторами .
Мы уже говорили о том, что, если к заряженному проводнику приближать проводник или диэлектрик, на них будут наводиться заряды так, что на ближайшей к заряженному проводнику стороне привносимого тела возникнут заряды противоположного знака. Такие заряды будут ослаблять то поле, которое создается заряженным проводником, и это будет понижать его потенциал. Тогда, в соответствии с 3.1.45, мы можем говорить об увеличении емкости заряженного проводника. На такой основе как раз и создают конденсаторы.
Обычно конденсатор состоит из двух металлических обкладок , разделенных диэлектриком . Его конструкция должна быть такой, чтобы поле было сосредоточено только между обкладками. Этому требованию удовлетворяют две плоские пластины , два коаксиальных (имеющих одну и ту же ось) цилиндра разного диаметра и две концентрические сферы . Поэтому конденсаторы, построенные на таких обкладках, называются плоскими , цилиндрическими и сферическими . В повседневной практике чаще используют два первых типа конденсаторов.
Под емкостью конденсатора понимают физическую величину С , которая равна отношению заряда Q , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ 1 – φ 2 ), т. е.
C = Q /(φ 1 – φ 2) . (3.1.48)
Найдем емкость плоского конденсатора, который состоит из двух пластин площадью S , отстоящих друг от друга на расстояние d и имеющих заряды +Q и –Q . Если d мало по сравнению с линейными размерами пластин, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать поле между обкладками однородным. Поскольку Q = σS , а, как было показано ранее, разность потенциалов между двумя разноименно заряженными пластинами с диэлектриком между ними φ 1 – φ 2 = (σ /ε 0 ε)d, то после подстановки этого выражения в 3.1.48 получаем
C = ε 0 εS/d . (3.1.49)
Для цилиндрического конденсатора длиной l и радиусами цилиндров r 1 и r 2
C = 2πε 0 εl/ln(r 2 /r 1) . (3.1.50)
Из выражений 3.1.49 и 3.1.50 хорошо видно, как можно увеличить емкость конденсатора. Прежде всего, для заполнения пространства между обкладками следует использовать материалы с максимально большой диэлектрической проницаемостью. Другим очевидным способом повышения емкости конденсатора является уменьшение расстояния между обкладками, однако у этого способа имеется важный ограничитель – пробой диэлектрика , т. е. электрический разряд через слой диэлектрика. Разность потенциалов, при которой наблюдается электрический пробой конденсатора, называется пробивным напряжением . Для каждого типа диэлектрика эта величина своя. Что же касается увеличения площади пластин плоского и длины цилиндрического конденсаторов для увеличения их емкости, то всегда существуют чисто практические ограничения размеров конденсаторов, чаще всего это размеры всего прибора, в состав которого входит конденсатор или конденсаторы.
Для того чтобы была возможность увеличивать или уменьшать емкость, на практике широко используется параллельное или последовательное соединение конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одна и та же и равна φ 1 – φ 2 , а заряды на них будут равны Q 1 = C 1 (φ 1 – φ 2) , Q 2 = C 2 (φ 1 – φ 2) , … Q n = C n (φ 1 – φ 2) , поэтому полный заряд батареи из конденсаторов Q будет равен сумме перечисленных зарядов ∑Q i , которая в свою очередь равна произведению разности потенциалов (φ 1 – φ 2) на полную емкость С = ∑C i . Тогда для полной емкости конденсаторной батареи мы получаем
C = Q/(φ 1 – φ 2) . (3.1.51)
Иными словами, при параллельном соединении конденсаторов полная емкость конденсаторной батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.
При последовательном соединении конденсаторов заряды на обкладках равны по модулю, а полная разность потенциалов ∆φ батареи равна сумме разностей потенциалов ∆φ 1 на зажимах отдельных конденсаторов. Поскольку для каждого конденсатора ∆φ 1 = Q/C i , то ∆φ = Q/C =Q ∑(1/C i) , откуда получаем
1/C = ∑(1/C i) . (3.1.52)
Выражение 3.1.52 означает, что при последовательном соединении конденсаторов в батарею суммируются величины, обратные емкостям отдельных конденсаторов, при этом суммарная емкость оказывается меньше самой маленькой емкости.
Мы уже говорили о том, что электростатическое поле потенциально. Это значит, что любой заряд в таком поле обладает потенциальной энергией. Пусть имеется проводник в поле, для которого известны заряд Q , емкость C и потенциал φ , и пусть нам необходимо увеличить его заряд на dQ . Для этого надо совершить работу dA = φdQ = Сφdφ по перенесению этого заряда из бесконечности на проводник. Если же нам надо зарядить тело от нулевого потенциала до φ , то придется совершить работу, которая равна интегралу от Сφdφ в указанных пределах. Понятно, что интегрирование даст следующее уравнение
А = Сφ 2 /2 . (3.1.53)
Эта работа идет на повышение энергии проводника. Поэтому для энергии проводника в электростатическом поле можно записать
W = Сφ 2 /2 = Q φ/2 = Q 2 /(2C) . (3.1.54)
Конденсатор, как и проводник, тоже обладает энергией, которая может быть вычислена по формуле, подобной 3.1.55
W = С(∆φ) 2 /2 = Q∆φ/2 = Q 2 /(2C) , (3.1.55)
где ∆φ – разность потенциалов между обкладками конденсатора, Q – его заряд, а С – емкость.
Подставим в 3.1.55 выражение для емкости 3.1.49 (C = ε 0 εS/d ) и учтем, что разность потенциалов ∆φ = Ed , получим
W = (ε 0 εS/d)(Ed 2)/2 = ε 0 εE 2 V/2 , (3.1.56)
где V = Sd . Уравнение 3.1.56 показывает, что энергия конденсатора определяется напряженностью электростатического поля. Из уравнения 3.1.56 можно получить выражение для объемной плотности электростатического поля
w = W/V = ε 0 εE 2 /2 . (3.1.57)
Контрольные вопросы
1. Где располагаются электрические заряды у заряженного проводника?
2. Чему равна напряженность электростатического поля внутри заряженного проводника?
3. От чего зависит напряженность электростатического поля у поверхности заряженного проводника?
4. Как обеспечивается защита приборов от внешних электростатических помех?
5. Что такое электроемкость проводника и какова единица ее измерения?
6. Какие устройства называются конденсаторами? Какие типы конденсаторов существуют?
7. Что понимают под емкостью конденсатора?
8. Каковы способы увеличения емкости конденсатора?
9. Что такое пробой конденсатора и пробивное напряжение?
10. Как вычисляется емкость конденсаторной батареи при параллельном соединении конденсаторов?
11. Чему равна емкость конденсаторной батареи при последовательном соединении конденсаторов?
12. Как вычисляется энергия конденсатора?
