Основные законы механики

Механика – это радел физики, который наиболее широко вошел в различные отрасли народного хозяйства. Это все виды механизмов, станков, автомобилей, расчет конструкций зданий и сооружений. Без механики невозможна работа высокотехнологичных процессов: запуск спутников, расчет их орбит и систем управления, исследование Вселенной, строительство летательных аппаратов, ускорителей, всех видов оружия. В медицине механика столь же значима, как и в других областях народного хозяйства. Механические изделия очень широко используются и в медицине. Они применяются в хирургии и травматологии, в кардиологии, онкологии и других направлениях. Самые высокотехнологичные современные приборы используют сверхточную механику, например, для наведения в заданную пучков лазерного, или ультразвукового излучения, а также пучков из ускорителей заряженных частиц. Имени исследования в медицине были положены в механики движения жидкости, а также стали отправной точкой для создания батареек, а затем и теории электрического тока.

В механике можно выделить динамику и статику, механические законы сохранения и закон всемирного тяготения.

Динамикой называют раздел механики, в котором изучают различные виды механических движений тел и их взаимодействия между собой. Она включает динамику поступательного и вращательного движения, динамику движения жидкости. Формирование динамики Ньютоном позволило впервые создать теорию, объясняющую окружающий нас мир. Эта теория получила название классической механики.

Основу динамики составляют три закона Ньютона, которые входят в состав классической механики.

Введение Ньютоном понятия силы стало базой для формулировки законов механики. Хорошо известно, что скорость любого тела изменяется под действием других тел. При их отсутствии тело останавливается или движется равномерно, но при этом уменьшение (изменение) скорости опять происходит под действием внешних сил. Если мысленно предположить, что на тело не действуют внешние силы, то оно, по логике, должно двигаться равномерно и прямолинейно. Это утверждение составляет первый закон Ньютона . Его более точная формулировка выглядит так: существуют такие инерциальные системы отсчета, относительно которых тело при отсутствии воздействия на него внешних сил (или при их взаимной компенсации) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения . По смыслу первый закон Ньютона утверждает, что если на тело не будут действовать ни какие внешние силы, и его направление движения и скорость будут оставаться неизменными.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными. К выводу о существовании явления инерции впервые пришел Галилей, а затем и Ньютон. Галилеем впервые был сформулирован и принцип относительности, носящий его имя: никакими механическими опытами, поставленными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно .

Например, Вы находитесь в поезде, который медленно начинает двигаться на стации. Наблюдая в окно за другим составом, находящемся на соседних путях, вы не можете определить какой из составов начал движение – Ваш или соседний. Лишь удар колес о стыки рельсов позволит установить, что движение начал Ваш состав.

Впоследствии этот принцип был распространен на инерциальные системы отсчета, движущиеся с любыми, в том числе и релятивистскими скоростями. Он получил название принципа относительности Эйнштейна: математическое выражение любого закона физики имеет одинаковый вид в каждой инерциальной системе отсчета .

Системы отсчета, в которых не выполняется первый закон Ньютона, получили название неинерциальных . К неинерциальным системам отсчета относятся, например, системы отсчета расположенные на Земле и вращающиеся вместе с ней. Вообще практически все системы отсчета неинерциальные, поскольку космические тела и галактики движутся не по прямой линии. Инерциальные системы отсчета – достаточно идеализированные и применимые в ограниченном объеме пространства или времени.

Примером неинерциальной системы отсчета является наша Земля. Любая система координат, расположенная на ней, во-первых, будет вращаться вокруг земной оси вместе с Землей. Во-вторых, вместе с Землей будет вращаться вокруг Солнца. В-третьих, вместе с Солнцем и нашей Галактикой двигаться по спирали и, к тому же, ускоренно. Как видим, движение системы выбранной нами координат будет очень сложным. Однако и в этих условиях можно выбрать систему координат, которая может с хорошей степенью точности считаться инерциальной. Для этого надо ввести ограничения на размеры системы, в которой мы будем производить измерения. Также необходимо ограничить время, в течение которого мы будем производить измерения.

Рассмотрим, например, измерение скорости движения поезда между Москвой и Санкт-Петербургом. Эта система по сравнению с размерами Земли мала (сравните 700 км и диаметр Земли 13000 км). Поэтому систему отсчета можно считать примерно инерциальной. Хотя такое представление будет весьма условно, поскольку даже за 4 часа движения Земля повернется на одну шестую часть своего периода вращения. Москва и Санкт-Петербург за это время переместятся вокруг Земли на расстояние ~ 3300 км.

Второй закон Ньютона гласит, что ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу :

(2.2.1)

Силу можно определить как воздействие на тело, способное привести его в состояние ускоренного движения. Равнодействующей всех сил называют векторную сумму всех приложенных к телу сил. В системе единиц СИ сила измеряется в ньютонах. Стремление тела сопротивляться изменению его движения называют инертностью тела. Мерой инертности является масса тела.

Второй закон Ньютона относится к наиболее фундаментальным законам физики. В неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона не действует. Так, например, в падающем лифте на тело действует сила, хотя относительно лифта тело покоится (a=0). В тоже время относительно Земли это тело движется с ускорением g. Смысл второго закона Ньютона в том, что если тело движется неравномерно, либо непрямолинейно, то на него обязательно действует сила. Любое тело или частица во Вселенной в условиях всемирного тяготения всегда будет двигаться по сложной непрямолинейной траектории. Согласно общей теории относительности Эйнштейна даже фотоны под действием тяготения слегка искривляют свою траекторию.

Помимо этих законов, наблюдения показывают, что книга, на которую действует сила тяжести, тем не менее, покоится. Увеличение давления на книгу не приводит к ее движению. Следовательно, должна быть сила, уравновешивающая силу тяжести.

Такие силы определяются третьим законом Ньютона , который гласит: когда одно тело действует на другое с некоторой силой, со стороны второго тела на первое действует сила, равная по величине и противоположная по направлению силе действия. Другими словами, сила действия равна силе противодействия, или:

Таким образом, третий закон Ньютона определяет силу противодействия или реакции опоры N . Приведем пример. Человек двигается по почве под действием силы трения F тр (рис.2.1). Чтобы человек мог двигаться, почва под ногами не должна проскальзывать, то есть скорость движения ноги относительно почвы должна быть равной нулю. Это будет, когда сила сопротивления почвы равна силе трения. Сила трения F тр действует на человека со стороны почвы, а человек силой действует на почву. Эти силы связаны между собой третьим законом Ньютона:

Рис.2.6. К объяснению силы трения при движении человека.

Еще пример. Если человек будет двигаться по льду, сопротивление почвы уменьшится, и скорость его движения станет меньше, так как ноги будут проскальзывать. Существует высказывание «как белка в колесе». По смыслу оно означает, что белка бежит в колесе, быстро перебирая лапами, и при этом остается на месте. Это происходит потому, трение колеса об ось практически равно нулю. Таким образом сила сопротивления колеса равна нулю . Под действием лап белки оно крутится в обратную сторону. Сила трения F тр, действующая со стороны колеса на белку также равна нулю.

Когда тело покоится, сила тяжести представляет собой реакцию опоры, на которую действует данное тело, что описывается третьим законом Ньютона:

Взвешивая тело на пружинных весах, мы измеряем реакцию опоры пружины, то есть степень ее сжатия под действием веса тела.

Одно и тоже тело на Земле и Луне будет иметь одинаковую массу, но разный вес, так как ускорение свободного падения на Земле больше в 6 раз, чем на Луне. В лифте, движущемся вверх с ускорением (рис.2.2), сила тяжести представляет собой реакцию опоры, действующую на тело массы :

Рис.2.7. К понятию реакции опоры.

Из (2.2.4) видно, что если тело движется вниз с ускорением, то реакция опоры N уменьшается, а если тело движется с ускорением вверх, то его вес возрастает. Три закона Ньютона относятся к фундаментальным классическим законам, описывающим движение.

Открытие Ньютоном трех законов динамики позволило ввести понятие инерциальной системы отсчета и научится переходить из одной системы отсчета в другую, ввести понятие силы, массы, ускорения, реакции опоры, определить условия движения тела и объяснить причины его состояния покоя. Это стало началом теоретической механики и многих прикладных направлений науки и техники.

Особенное значение сыграло и открытие принципа суперпозиции , что дало возможность использовать достижения математики (прежде всего линейную алгебру, правила сложения векторов) в описании физических явлений.

Смысл его заключается в следующем. Если на тело действует несколько сил, то суммарное их действие равно векторной сумме действующих сил:

Силы складываются по правилу сложения векторов (рис.2.8).

Рис. 2.8. Принцип суперпозиции: a) сложение векторов, б) вычитание векторов.

Формула (2.2.5) свидетельствует о справедливости принципа независимости действия сил (принципа суперпозиции), который формулируется так: если на тело действуют одновременно несколько сил, действие каждой из них можно рассматривать независимо от действия остальных .

Если бы этот принцип не действовал, то в формуле (2.2.5) силы F i необходимо было бы умножить на коэффициенты α i , отличающиеся от единицы. Смысл этих коэффициентов – степень нарушения принципа суперпозиции для каждой из сил (если он не нарушается то α i =1). При сложении сил нельзя было бы применить правила сложения векторов без учета коэффициентов α i .

Как оказалось, принцип суперпозиции действует во всех разделах физики. Поэтому – его справедливость также важный фундаментальный факт.

Силы трения . Применение законов Ньютона позволяет определить силу трения как силу, препятствующую движению.

При движении трение оказывает вредное влияние: расходует дополнительную энергию, нагревает соприкасающиеся тела и приводит к их быстрому износу и разрушению, уменьшает скорость. При конструировании многих механизмов, прикладываются значительные технологические усилия с целью уменьшения силы трения между частями механизмов. Так, например, улучшают качество масла в двигателях автомобилей.

С другой стороны трение носит и позитивный характер. Так, например, наше движение или прыжки кузнечиков обеспечиваются силой трения. Автомобиль трогается с места потому, что на него со стороны Земли действует сила трения. Если трение уменьшится, то колеса начнут проскальзывать (станет меньше, а так как ), и скорость движения автомобиля уменьшится (рис.2.9). Если сила трения станет равной нулю, то автомобиль будет стоять на месте, а колеса будут крутиться. Трение превращает механическую энергию в тепло. Как известно, наши далекие предки получали огонь при трении двух палок друг о друга, или высекали огонь при трении камней.

Рис.2.9. К понятию роли трения при движении автомобиля.

Существуют разные виды силы трения: внешнее и внутреннее. Внешним называют трение, которое возникает при соприкосновении тел. В этом случае силы трения направлены вдоль их поверхности (по касательной к ней­). Причем сила трения всегда перпендикулярна силе реакции опоры, как видно на (рис.2.4). Внутренним трением или вязкостью называют вид трения между слоями жидкости или газа.

К внешнему трению относятся трение покоя, скольжения и качения. Трение покоя возникает между неподвижными телами, которые пытаются сдвинуть с места. При попытке сдвинуть стол трение покоя равно приложенной к столу силе, так как мы увеличиваем усилие, а стол продолжает стоять на месте. Трение покоя – это сила, направленная противоположно действующей на тело внешней силе:

где k пок – коэффициент трения покоя, F – приложенная сила.

Обычно коэффициент трения покоя k пок =1, то есть приложенная сила равна по модулю силе трения покоя (рис.2.10). Это происходит в интервале изменения силы F: или если сила направлена в обратную сторону, то ее описывает левая нижняя часть графика на рис.2.10. А изменение происходит в интервале:

При некоторой силе, приложенной к столу, он начнет двигаться. Это происходит в момент, когда трение покоя станет равным трению скольжения . Если дальше увеличивать силу, он приобретет ускорение. Трение скольжения – сила сопротивления движению одного тела по поверхности другого, направленная в сторону, противоположную движению и описываемая выражением:

где - сила реакции опоры (она представлена на рис.2.2), k ск – коэффициент трения скольжения, который также как и коэффициент трения покоя является безразмерной величиной. Он зависит от веществ, из которых сделаны трущиеся поверхности, и условий механической обработки, приводящей к изменению гладкости поверхности. Этот коэффициент измерен экспериментально для скольжения одних материалов по другим. Для практического использования существуют таблицы коэффициентов трения скольжения. На рис.2.5 представлена зависимость сил трения покоя и скольжения от приложенной силы. Сила трения скольжения не зависит от величины приложенной силы.

Рис. 2.10. Зависимость сил трения покоя F пок и скольжения F ск от приложенной силы.

При соприкосновении круглой и плоской или двух круглых поверхностей трущихся тел возникает сила трения качения . Причина трения качения связана с величиной площади соприкосновения двух поверхностей. Чем меньше длина дуги l соприкосновения двух поверхностей, тем меньше сила трения качения (рис.2.11). Как видно на рис.2.6 нормальная составляющая реакции опоры R норм компенсирует действие силы тяжести, а тангенциальная составляющая R танг связана с силой трения качения F кач =k кач R танг:

, (2.2.8)

где k кач – безразмерный коэффициент трения качения, l – длина половины дуги соприкасающихся поверхностей, r – радиус катящегося тела.

Например, телега по проселочной дороге движется с маленькой скоростью, а автомобиль по шоссе может развивать существенно более высокую скорость. Не рекомендуется «перекачивать» колеса автомобиля, так как трение скольжение чрезмерно уменьшится, что приведет к уменьшению устойчивости автомобиля на дороге при резком торможении. Для уменьшения трения двух круглых цилиндров, надетых друг на друга, между ними устанавливают шарико – подшипниковые втулки.

Вязкое трение . Сила трения возникает и при движении тела в жидкости или газе. Так металлический шарик, упавший в аквариум, приобретет в нем некоторую установившуюся (постоянную) скорость. Капли дождя в воздухе также падают с вполне определенной конечной скоростью (в случае отсутствия вязкого трения их скорость составляла бы сотни метров в секунду, примерно как у пули, и вряд ли кому-нибудь можно было бы пожелать попасть под такой дождь). Экспериментально установлено, что в жидкостях, из-за их высокой плотности и, следовательно, вязкости, тело не может развить высокую скорость. Поэтому в них сила вязкого трения тела о слои жидкости пропорциональна скорости тела и соответственно составляет:

, (2.2.9)

Рис. 2.11. Сила трения качения.

где k вт – коэффициент вязкого трения в жидкости, V – скорость тела.

Сила вязкого трения в газе , где плотность вещества во много раз меньше, чем в жидкости, пропорциональна квадрату скорости тела:

(2.2.10)

где k втг – коэффициент вязкого трения в газе, V – скорость тела.

Коэффициенты вязкого трения в жидкости и газе - размерные величины:

Примером вязкого трения является трение слоев воды в реке или ручье. Вблизи берега скорость воды близка к нулю, тогда как к центру реки скорость воды возрастает. Распределение скорости имеет вид, представленный на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Пример вязкого трения.

Другой пример – скорость падения капель на землю. Представьте, что капли дождя падают на землю с высоты 2000 метров. Если бы не было сопротивления воздуха, их скорость у поверхности земли составляла бы:

.

Их скорость была бы сравнима со скоростью пули. Капли пробивали бы обшивку автомобиля, а человека просто могли бы убить. На самом деле скорость капель с массой 0.1 грамма составит:

.

Таким образом, трение капель о воздух определяет их предельную скорость, и, в десятки раз уменьшает ее, по сравнению со скоростью движения капель без сопротивления воздуха.

Закон всемирного тяготения. Некоторыми учеными, в том числе и Гуком, высказывалась идея о том, что сила притяжения между Луной и Землей пропорциональна . Анализируя взаимодействие Земли и Луны, Исаак Ньютон пришел к этому же заключению. Успех Ньютона заключается в том, что он осознал гравитационную природу взаимодействия планет и Солнца. В 1685 году он пришел к выводу, что сила взаимодействия двух тел пропорциональна их массам, а также величине, обратной квадрату расстояния между ними . Это составило содержание знаменитого закона всемирного тяготения Ньютона. Он формулируется так: каждая частица во Вселенной притягивает любую другую частицу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила гравитационного взаимодействия двух тел действует по линии, соединяющей их центры тяжести .

Величина силы тяготения описывается выражением:

где m 1 и m 2 – массы взаимодействующих тел, r – расстояние между ними, G – гравитационная постоянная, - единичный вектор, направленный по прямой, соединяющей центры масс этих тел.

Строго говоря, взаимодействие происходит между всеми частицами этих тел, что можно учесть интегрированием взаимодействия (эта операция была также придумана Ньютоном).

Рис. 2.13. Опыт Кавендиша.

Закон всемирного тяготения описывает движение всех планет, звезд и Галактик. По отклонению космических тел от их расчетных траекторий определяли наличие рядом с ними планет – спутников. Этот закон основной в астрономических исследованиях. Он позволил сделать множество открытий в физике и астрономии, например, определить плотность планет, расположенных от Земли на миллионы километров или определить наличие черных дыр и нейтронных звезд.

Количественно закон всемирного тяготения был подтвержден в опытах Кавендиша лишь через 100 лет после смерти Ньютона. На рис.2.13 приведен уникальный по точности опыт Кавендиша. В нем на крутильных весах размещается зеркальце. По отражению «зайчика» на большом расстоянии от установки удалось зарегистрировать очень малые отклонения, возникающие в результате притяжения двух шаров. В этих опытах ему удалось экспериментально измерить гравитационную постоянную G, величина которой по современным экспериментальным данным составляет:

Из формулы (2.2.11) следует, что гравитационная постоянная является размерной величиной.

Ускорение свободного падения, впервые измеренное Галилеем, с использованием закона всемирного тяготения определяется из уравнения, связывающего силу тяжести с силой притяжения тела и Земли:

, (2.2.12)

(2.2.13)

Если тело находится на высоте h над поверхностью Земли, то сила притяжения и, следовательно, ускорение свободного падения должны изменяться:

, (2.2.14)

где – ускорение на поверхности Земли для высоты , – радиус Земли.

Динамика движения по окружности. Как следует из первого закона Ньютона любое тело, двигающееся не по прямой линии, обязательно движется с ускорением. Движение тела с постоянной скоростью V по окружности радиуса R происходит с ускорением, направленным к центру окружности. Поэтому оно получило название центростремительного ускорения:

(2.2.15)

В этом случае величина ускорения не меняется, а изменяется его направление. Действие центростремительного ускорения человек ощущает, когда, качаясь на качелях, чувствует силу, прижимающую его в нижней точке движения качелей. При повороте движущегося автобуса пассажиров прижимает к стенке автобуса. И в том и другом случае со стороны качелей и стенки автобуса (рис.2.14) на человека действует центростремительная сила.

Под действием центростремительной силы происходит вращение планет и Солнца. При вращении космического корабля вокруг Земли ускорение свободного падения и является центростремительным ускорением. А центростремительная сила и возникает в результате притяжения спутника и Земли. В этом случае она равна силе притяжения спутника к Земле:

. (2.2.16)

В медицине для разделения веществ широкое распространение получило устройство, называемое центрифугой. В нем все частицы движутся по окружности с большой скоростью. Под действием центробежной силы они попадают на некоторый участок экрана в зависимости от их массы, где их можно собрать и распознать. Другой пример – отжим белья после стирки. При высоких оборотах центрифуги капли воды вылетают из мокрого белья, попадают на внутреннюю стенку оболочки центрифуги и по ней стекают вниз стиральной машины. Чем выше обороты барабана, тем более мелкие капли, которые прочней удерживаются мелкими волокнами белья, покинут его.

Центробежной называется сила, равная по модулю центростремительной силе, но направленная в противоположную сторону.

Рис. 2.14. Пример центростремительной силы.

Она вводится в неинерциальной системе координат. Такими являются все системы координат, вращающиеся по окружности вместе с частицами.

На рис.2.15 приводятся примеры движения тела по выпуклой и вогнутой поверхности. Для этих случаев второй закон Ньютона записывается в виде:

(2.2.17)

(2.2.18)

Как видно из (2.2.17) при движении тела по выпуклой поверхности его вес, то есть реакция опоры уменьшается:

,

а при движении по вогнутой поверхности (2.1.18) увеличивается:

.

Рис. 2.15. Движение по вогнутой (а) и выпуклой (б) поверхностям.

При движении по выпуклой поверхности вес автомобиля уменьшается, а, следовательно, уменьшается и величина трения скольжения о поверхность. Это снижает устойчивость автомобиля, и он скорее может начать скользить. При движении по вогнутой поверхности вес тела возрастает (оно как бы дополнительно прижимается к поверхности центробежной силой). В этом случае трение, а, следовательно, и устойчивость автомобиля возрастает.

При движении вокруг Земли тело обладает линейной скоростью V. Одновременно под действием силы тяжести оно движется к центру Земли с ускорением g. Это описывается вторым законом Ньютона:

Отсюда скорость, необходимая для того, чтобы тело вышло на околоземную орбиту, и, двигаясь вокруг Земли, не падало на нее, называется первой космической скоростью , которая составляет:

С такой минимальной скоростью необходимо запускать космические спутники, чтобы они не падали на Землю, а стали двигаться по круговой орбите.

Сравнивая уравнение, описывающее движение тела по выпуклой поверхности (2.1.17) с движением спутника по круговой орбите, видно, что его вес (то есть реакция опоры, когда он падает на Землю свободно – под действием силы тяжести) будет равен нулю. Таким образом, вес любого тела, например, космонавта, внутри спутника тоже будет равен нулю. Это явление свободного падения тела вместе со спутником к Земле получило название невесомости .

Исследование поведения живых организмов, включая человека, а также растений в условиях невесомости составляет область космической медицины.

Из уравнений (2.2.1) и (2.2.3) зная величину силы и ускорение можно вычислить массу тела. В первом случае, когда для этой цели используется второй закон Ньютона (2.2.1), масса определяется выражением:

и ее называют инертной .

Когда применяют закон всемирного тяготения (2.2.3) и (2.2.11), масса может быть вычислена, используя выражение:

Такая масса получила название гравитационной . Физики экспериментально с очень высокой точностью измеряли массу обоими способами. Современные эксперименты утверждают, что обе массы инертная и гравитационная совпадают с точностью, лучшей, чем 10 -11 .

Таким образом, закон всемирного тяготения устанавливает, что вокруг всякого тела существует гравитационное поле, которое «заставляет» все тела, имеющие массу, притягиваться. Случаев, когда происходило бы гравитационное отталкивание тел, на практике не зарегистрировано. Хотя в природе могут быть всякие, даже самые неожиданные открытия. Кстати гравитационное отталкивание представляет одну из гипотез, объясняющей расширение Вселенной с ускорением.

2.3. Законы сохранения импульса и энергии

Энергия и импульс являются важнейшими законами физики. Оказывается, что вообще в природе законы сохранения играют важную роль. Поиск сохраняющихся величин и законов, из которых они могут быть получены, – предмет исследований во многих разделах физики. Выведем эти законы простейшим способом из второго закона Ньютона. Для их вывода вводятся понятия скалярных величин работы и энергии. Работа, совершаемая постоянной силой при перемещении тела, определяется как скалярное произведение величины силы и проекции перемещения на направление силы (рис.2.16):

где F – постоянная сила, s – перемещение, - угол между направлением силы и перемещения.

То есть работа не имеет направления, а определяет некоторую величину.

Если угол между силой и перемещением составит 90 0 , то работа силы будет равна нулю. При действии нескольких сил в качестве силы, совершающей работу, берется равнодействующая всех приложенных к телу сил. В случае, когда в процессе движения угол, а, следовательно, и проекция силы на направление движения тела сложным образом изменяются, работа вычисляется разбиением площади под кривой на сумму прямоугольников рис.2.17:

(2.3.2)

где - интервал разбиения пути S.

Рис. 2.16. Иллюстрация к определению работы силы.

При уменьшении интервала разбиения пути до бесконечно малой величины работа определяется интегрированием:

(2.3.3)

Работа и энергия – связанные между собой понятия. Энергия представляет собой одно из важнейших понятий в науке. Причем не только в механике, но и в других областях физики: термодинамике и молекулярной физике, электричестве, оптике, атомной, ядерной и физике частиц. По смыслу сумма всех видов энергии (полная энергия) должна оставаться неизменной во всех процессах природы.

Рис. 2.17. Вычисление работы при сложной зависимости силы от расстояния.

Энергию механического движения называют кинетической энергией . Связь между работой и энергией тела может быть вычислена из второго закона Ньютона:

с использованием кинематического соотношения:

Получаем, что совершенная работа равна изменению кинетической энергии тела:

(2.3.4)

Величину называют кинетической энергией поступательного движения тела.

Связь энергии и работы можно получить и путем интегрирования с использованием формулы (2.3.3):

Единицы измерения работы и энергии в системе СИ одинаковы:

Энергия, как и работа, является скалярной величиной. Она может быть обусловлена не только движением тел, но и их взаимным расположением и формой. Такую энергию называют потенциальной .

Потенциальной энергией обладают друг относительно друга два груза, соединенные пружиной, или тело, находящееся на некоторой высоте над Землей. Этот последний пример относится к гравитационной потенциальной энергии. Она вычисляется по формуле:

(2.3.6)

Учитывая, что вдоль координаты y составляет dy = dlcosθ, получаем изменение потенциальной энергии с высотой (рис.2.18), равная работе тела, совершенной при его перемещении в потенциальном поле:

, (2.3.7)

где h = y 2 – y 1 – высота, на которую переместилось тело по вертикали. Видно, что при движении тела в поле тяжести Земли, работа зависит от величины перемещения, но не зависит от пути, по которому тело движется из точки 1 в точку 2. Системы, в которых изменение потенциальной энергии не зависит от пути перехода из одной точки системы в другую, называются консервативными . К таким системам относятся поле тяжести Земли, поле электрического заряда, которые обычно называют потенциальными полями.

Рис. 2.18. К определению потенциальной энергии и консервативной системы. .

Для объяснения потенциального поля воспользуемся примером с колебанием груза на пружине. Для тела, колеблющегося на пружине, при условии малых колебаний справедлив закон Гука:

Изменение потенциальной энергии равно работе силы, которая совершает перемещение тела:

В этом случае потенциальная энергия тела на пружине составляет:

Отсюда сила, которая действует на тело в потенциальном поле, определяется через потенциальную энергию следующим образом:

Для вывода закона сохранения механической энергии рассмотрим пример движения тела в поле тяжести Земли. Тело, двигаясь из точки 2 в точку 1, под действием силы тяжести совершает работу (2.3.7). При этом, если точка 1 расположена на меньшей высоте (рис.2.18), кинетическая энергия тела увеличивается (2.3.5). Тогда увеличение кинетической энергии тела будет равно уменьшению потенциальной энергии:

Откуда сумма кинетической и потенциальной энергии в потенциальном поле при отсутствии силы трения будет постоянной величиной:

. (2.3.11)

Это соотношение представляет собой закон сохранения механической энергии, который формулируется так: полная механическая энергия тел, взаимодействующих только консервативными силами, в замкнутой системе сохраняется. Замкнутой называют систему, в которой сумма внешних сил, действующих на тело, равна нулю. Другая формулировка закона сохранения механической энергии - в замкнутой системе сумма начальной и конечной механической энергии всех частиц системы сохраняется :

, (2.3.12)

Энергия может иметь и другие виды: электрическая (например, поле конденсатора), химическая (запасенная в пище и топливе), внутренняя (имеющая форму движения и взаимодействия молекул и атомов), атомная (выделяющаяся при распаде атомов), ядерная (запасенная в энергии связи ядер).

Для всех видов энергии закон ее сохранения формулируется следующим образом: при любых процессах полная энергия не увеличивается и не уменьшается. Энергия может превращаться из одного вида в другой и передаваться от одного тела другому, но ее полная величина сохраняется постоянной.

Энергия – свойство материи, количественная мера ее движения, то есть одно из наиболее общих понятий физики. В любой системе, принадлежащей физическому миру, энергия сохраняется при любых процессах. Меняться может лишь форма, в которую она переходит.

При попадании пули в кирпич часть кинетической энергии (причем большая) переходит в тепло. Причина этого – наличие силы трения между пулей и кирпичом, в котором она двигается с большим трением. При вращении ротора турбины механическая энергия превращается в электрическую энергию, а при этом в замкнутой цепи возникает ток. Когда частицы света попадают на катод, они сообщают дополнительную кинетическую энергию электронам, достаточную для их отрыва от поверхности металла. Это приводит к возникновению тока в замкнутой цепи, где между электродами (анодом и катодом), расположенными в вакууме, первоначально нет носителей заряда.

Энергия, выделяющаяся при сжигании химического топлива, то есть энергия молекулярных связей, превращается в тепловую энергию. Причем природа химической энергии – это энергия межмолекулярных и межатомных связей, по сути, представляющая собой молекулярную или атомную энергию.

Все живое на земле существует за счет потребления энергии. Условие жизни растений – это потребление солнечной энергии. В результате сложных химических процессов поглощенная энергия света позволяет синтезировать клетки и питать их химическими элементами из почвы. Живые организмы потребляют энергию, расщепляя пищу. В результате выделяется энергия химических межмолекулярных связей. Эта энергия поступает в клетку, поддерживая все происходящие в ней процессы.

В атомных электростанциях энергия связи ядер превращается в тепловую энергию, которая под действием пара вращает турбину, то есть превращается сначала в тепловую, а затем и механическую энергию, а в дальнейшем механическая энергия превращается в энергию электрического тока.

Еще одной важной энергетической характеристикой является мощность. Мощность – это скорость изменения энергии с течением времени:

или, другое определение мощности как работы, совершенной в единицу времени:

Мощность в системе единиц СИ измеряется в ваттах: Вт=Дж/с. По смыслу мощность можно интерпретировать как интенсивность совершения работы или передачи энергии. На вашем электрическом счетчике измеряется мощность всех действующих у вас дома электрических приборов умноженная на время, в течение которого приборы включены, то есть согласно (2.3.13) потребленная энергия. На счетчике она измеряется в единицах :

Закон сохранения импульса . Из практики хорошо известно, что тело, имеющее заданную скорость, но большую массу, остановить тяжелее, чем более легкое. Это связано с тем, что тело с большей массой обладает большим количеством движения. Другой пример, когда человек прыгает с санок, стоящих на льду. Чем легче санки по сравнению с массой человека, тем короче будет прыжок. Если масса санок по сравнению с массой человека будет пренебрежимо мала, то в результате прыжка санки приобретут скорость, а человек останется на месте. Объяснить эти примеры можно при использовании понятия импульса.

Закон сохранения импульса , который формулируется так: когда сумма внешних сил, действующих на тело или систему тел, равна нулю, импульс тела или системы тел является постоянной величиной . Другое определение: в замкнутой системе сумма импульсов всех частиц системы сохраняется :

(2.3.19)

Пример 2.1 . Человек массы M, находясь на льду, бросает тяжелый камень массой m со скоростью v. Определить скорость человека.

Камень полетит в одну сторону, а человек станет скользить в другую. Скорость человека вычисляется с помощью закона сохранения импульса, который записывается так:

Откуда скорость человека составляет:

V = (m/M)v (2.3.20)

Пример 2.2. Человек массы m переходит с одного края лодки массы М и длиной L на другой. На какое расстояние переместится лодка.

По закону сохранения импульса скорость человека v и скорость лодки связаны соотношением:

В сумме перемещение лодки х=Vt и человека y=vt равно длине лодки:

х+у=L. (2.3.21)

Умножая первое уравнение на время t переписываем его в виде:

Mх = mу (2.3.22)

Решая систему уравнений (2.3.21) и (2.3.22), получаем величину смещения лодки х:

Рис.2.19. Применение закона сохранения импульса в примере о движении ракеты.

Еще один пример, имеющий такое же решение, как и в предыдущем случае. Ракета массы М взлетает вверх, из нее с большой скоростью v выбрасывается поток газов m. Чем выше скорость газа, тем быстрее и выше поднимается ракета. Ее скорость, как в примере 2.1, описывается выражением (2.3.20), а высота подъема вычисляется по формуле:

На самом деле масса топлива сгорает не мгновенно. Поэтому необходимо рассматривать движение с переменной массой, что и происходит при запуске космических кораблей. Такое уравнение впервые было написано и решено К.З.Циолковским.

Уравнение Циолковского. К.Э. Циолковский, великий русский ученый, получил уравнение, которое позволяло вычислить скорость, которую получит ракета в реальном случае, когда топливо не сгорает мгновенно, а общая масса ракеты уменьшается постепенно.

Представим себе ракету, взлетающую с поверхности Земли. Вполне естественно, что топливо, находящееся в ракете не сгорит мгновенно. Поэтому неверно применять закон сохранения импульса в виде dM×U=M×V, где dM и M, U и V соответственно массы и скорости ракеты и газов. В этом случае предполагается, что топливо сгорит не мгновенно. Циолковский вывел закон изменения импульса ракеты для случая, когда масса топлива уменьшается постепенно. Математически это имеет вид:

(2.3.23)

Величиной dM·dV пренебрегаем, поскольку оба множителя – малые величины. Уравнение для изменения импульса тела с переменной массой приобретает вид:

Отсюда сила тяги ракеты (или любого тела переменной массой) имеет вид:

(2.3.24)

Из уравнения (2.3.24) видно, что максимальная скорость, достигаемая космическим аппаратом, зависит от скорости, с которой вылетают газы из сопла ракеты. Поэтому разрабатываются, например, ядерные двигатели, где скорость истечения газов выше, чем при горении химического топлива. В этом случае можно достигнуть скорости выше 100 км/с. Это очень важно для практической реализации перелетов хотя бы в рамках солнечной системы.

Перемещение космических аппаратов в безвоздушном пространстве может осуществляться благодаря использованию закона сохранения импульса – то есть путем выброса газа в сторону, противоположную движению космического корабля. Поворот и коррекция его траектории также осуществляется включением дополнительных двигателей, направление выброса газа из которых может составлять различные углы по отношению к направлению выброса газа основным двигателем. При этом импульсы складываются по правилу параллелограмма (рис. 2.19).

Контрольные вопросы к лекции №2:

1. Дайте определение скорости и ускорения.

2. В чем различие между средней, путевой и мгновенной скоростью, а также скорости по перемещению?

3. В чем заключается значение понятия мгновенной скорости?

4. Рассчитайте из графика изменения скорости при равноускоренном движении длину пути, проходимого телом.

5. Что такое система отсчета?

6. Что такое система координат?

7. Какие системы координат Вы знаете?

8. Дайте определение траектории и перемещения.

9. Сформулируйте первый закон Ньютона и объясните как можно выбрать инерциальную систему отсчета.

10. Каковы пределы действия второго закона Ньютона?

11. Приведите примеры применения третьего закона Ньютона.

12. Что такое принцип суперпозиции и как выглядело бы его нарушение.

13. Дайте определение трения покоя и скольжения.

14. Почему трение качения меньше трения скольжения?

15. Какова причина возникновения вязкого трения?

16. Сформулируйте закон Всемирного тяготения и объясните физический смысл его параметров.

17. Опишите опыт Кавендиша.

18. Физический смысл ускорения свободного падения и как оно зависит от высоты.

19. Определите центростремительное ускорение.

20. Что такое гравитационная и инертная массы?

21. Как зависит реакция опоры при движении по выпуклой и вогнутой поверхности?

22. Сформулируйте законы сохранения энергии и импульса.

23. Что такое консервативные силы и потенциальные поля?

24. Что такое замкнутая система отсчета?

25. Как корректируют направление движения ракеты в безвоздушном пространстве?

26. Пределы применения закона сохранения энергии.

Эксперимент Кавендиша по проверке закона всемирного тяготения был выполнен в 1798 году.

Смысл эксперимента заключался в том, что при повороте зеркальца вместе с крутильными весами «зайчик» перемещается на расстояние пропорциональное радиусу поворота. Располагая экран на большом расстоянии от крутильных весов можно было регистрировать повороты на очень малые углы, порядка долей секунды.

В современной терминологии под атомной энергией понимают энергию расщепления ядер. Точнее было бы называть ее ядерной энергией.

Кинематика – изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливает.

Мат.точка – не имеет размеров, но в мат.точке сосредоточенна масса всего тела.

Поступательное – движение при котором прямая связанная с телом остаётся || самой себе.

Кинетические ур-я движения мат.точки:

Траектория – линия описываемая мат.точкой в пространстве.

Перемещение – приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени.

Скорость – Быстрота движения мат.точки.

Вектором средней скорости<> называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени.

Мгновенная скорость – величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.

Компоненты равны производным от координат по времени.

Равномерное – движение при котором за равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути.

Неравномерное – движение при котором скорость меняется как по модулю так и по направлению.

Ускорение и его составляющие.

Ускорение – физ.величина, определяющая быстроту изменения скорости, как по модулю, так и по направлению.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t до t+t называется векторная величина равная отношению изменения скорости к интервалу времениt: .Мгновенным ускорением мат.точки в момент времени t будет предел среднего ускорения. ..

определяет по модулю.

определяет по направлению.т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Нормальная составляющая ускорения направлена по нормали к траектории к центру её кривизны (поэтому её также называют центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих.

Если а н =?,а т =?

1. 1,2,3 Законы Ньютона.

В основе Динамики мат.точки лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона – всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

Инертность – стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Законы Ньютона выполняются только в инерциальной системе отсчёта .

Инерциальная система отсчёта – система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой то другой инерциальной системы.

Масса тела – физ.величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая её инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) св-ва.

Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона – ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

Импульс (кол-во движения) – векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на её скорость и имеющая направление скорости.

Более общая формулировка 2-го закона Н.(уравнение движения мт): скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

Следствие из 2зН: принцип независимости действия сил: если на мт действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает мт ускорение согласно 2зН, как будто других сил не было.

Третий закон Ньютона. Всякое действие мт (тел) друг на друга, носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга мт, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Импульс тела, сила. Закон сохранения импульса.

Внутренние силы – силы взаимодействия между мт механической системы.

Внешние силы – силы, с которыми на мт системы действуют внешние тела.

В механической системе тел, по 3-му закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна 0.

Запишем 2зН, для каждого из n тел механической системы(мс):

…………………

Сложим эти ур-я:

Т.к. геометрическая сумма внутренних сил мс по 3зН равна 0, то:

где - импульс системы.

В случае отсутствия внешних сил(замкнутая система):

, т.е.

Это и есть закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Центр масс, движение центра масс.

Центр масс (центр инерции) системы мт называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы.

Радиус-вектор этой точки равен:

Скорость центра масс (цм):

; , т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс.

Т.к. то:, т.е.:

Закон движения центра масс: центр масс системы движется как мт, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Кинематика вращательного движения материальной точки.

Угловая скорость – векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

Линейная скорость точки:

В векторном виде: , при этом модуль равен:.

Если =const, то вращение равномерное.

Период вращения (Т) – время, за которое точка совершает один полный оборот. ().

Частота вращения ( n ) – число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени. ;.

Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: . При ускоренном, при замедленном.

Тангенциальная составляющая ускорения:

Нормальная составляющая: .

Формулы связи линейных и угловых величин:

При :

Момент силы.

Момент силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведённого из точки О в точку А приложения силы, на силу F.

Здесь - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Модуль момента силы равен .

Момент силы относительно неподвижной оси z – скалярная величина , равная проекции на эту ось векторамомента силы, определённого относительно произвольной точки О данной осиz. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на данной оси.

Момент инерции твёрдого тела. Теорема Штейнера.

Момент инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n мт системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси.

При непрерывном распределении масс.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J C относительно параллельной оси, проходящеё через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Пусть сила F приложена к точке В. Находящейся от оси вращения на расстоянии r, -угол между направлением силы и радиус-векторомr. При повороте тела на бесконечно малый угол , точка приложения В проходит путь, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Учитывая, что , запишем:

Где -момент силы, относительно оси.

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идёт на увеличение его кинетической энергии:

Но ,, поэтому

Учитывая, что получим:

Этот и есть относительно неподвижной оси.

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то: .

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса (количество движения) мт А относительно неподвижной точки О – физическая величина, определяемая векторным произведением:

где r-радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А; - импульс мт.-псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Модуль вектора момента импульса:

Момент импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L z , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси.

Т.к. , то момент импульса отдельной частицы:

Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, а т.к. , то:

Т.о. момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем последнее уравнение: , т.е.:

это и есть уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: Производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство:

В замкнутой системе момент внешних сил и, откуда:L=const, это выражение и есть закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Работа силы. Мощность.

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Работа силы – величина, характеризующая процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый уголс направлением перемещения, торабота этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:

Элементарная работа силы на перемещенииназывается скалярная величина, равная:, где,,.

Работа силы на участке траектории от 1 до 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути:

Если на графике изображена зависимость F s от S, то работа определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

При , то А>0

При , то А<0,

При , то А=0.

Мощность – скорость совершения работы.

Т.е. мощность равна скалярному произведению вектору силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Кинетическая и потенциальная энергия поступательного и вращательного движения.

Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения этой системы. dA=dT. По 2зН , помножим наи получим:;

Отсюда:.

Кинетическая энергия системы – есть функция состояния её движения, она всегда , и зависит от выбора системы отсчёта.

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Если силовое поле характеризуется тем, что работа совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории, по которой это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такое поле называется потенциальным, а силы, действующие в нём – консервативными, если же работа зависит от траектории то такая сила – диссипативная .

Т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии, то: ;;, где С – постоянная интегрирования, т.е. энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной.

Если силы консервативны, то:

- Градиент скаляра П. (также обозначается ).

Т.к. начало отсчёта выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение. (при П=-mgh’).

Найдём потенциальную энергию пружины.

Сила упругости: , по 3зН:F x =-F x упр =kx;

dA=F x dx=kxdx;.

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы, она зависит только от конфигурации системы и от её положения по отношению к внешним телам.

Кинетическая энергия вращения

Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия: Е=Т+П, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Пусть F 1 ’…F n ’ – равнодействующие внутренних консервативных сил. F 1 …F n - равнодействующие внешних консервативных сил. f 1 …f n . Запишем уравнения 2зН для этих точек:

Умножим каждое ур-е на , учтя, что.

Сложим ур-я:

Первый член левой части:

Где dT есть приращение кинетической энергии системы.

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергииdП системы.

Правая часть равенства задаёт работу вешних неконсервативных сил, действующих на систему. Т.о.:

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то:

d(Т+П)=0;Т+П=Е=const

Т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Закон сохранения механической энергии : в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Абсолютно упругий удар.

Удар (соударение)

Коэффициент восстановления

абсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

Линия удара

Центральный удар

Абсолютно упругий удар – столкновение 2-х тел, в результате которого в обоих взаимодействующих не остаётся ни каких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Законы сохранения:

m 1 v 1 +m 2 v 2 =m 1 v’ 1 +m 2 v’ 2

после преобразований:

откуда:v 1 +v 1 ’=v 2 +v 2 ’

решая последнее ур-е и предпедпоследнее найдём:

Абсолютно неупругий удар.

Удар (соударение) – столкновение 2-х или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе внешними силами можно пренебречь.

Коэффициент восстановления – отношение нормальной составляющей относительной скорости тел после и до удара.

Если для сталкивающих тел =0, то такие тела называютсяабсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

Линия удара – прямая проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения.

Центральный удар – такой удар, при котором тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центр масс.

Абсолютно неупругий удар – столкновении 2-х тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше, как единое целое.

Закон сохранения импульса:

Если шары двигались навстречу друг другу, то при абсолютно неупругом ударе шары движутся в сторону большего импульса.

Поле тяготения, напряжённость, потенциал.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя мт действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

G – Гравитационная постоянная (G=6,67*10 -11 Hm 2 /(кг) 2)

Гравитационное взаимодействие между двумя телами осуществляется с помощью поля тяготения , или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное св-во поля в том, что на всякое тело внесённое в это поле действует сила тяготения:

Вектор не завит от массы и называется напряжённостью поля тяготения.

Напряжённость поля тяготения определяется силой действующей со стороны поля на мт единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой, напряжённость есть силовая хар-ка поля тяготения.

Поле тяготения однородное если напряжённость во всех точках его одинакова, и центральным , если во всех точках поля векторы напряжённости направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке.

Гравитационное поле тяготения – носитель энергии.

На расстоянии R на тело действует сила:

при перемещении этого тела на расстояние dR затрачивается работа:

Знак минус появляется, т.к. сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению.

Затраченная работа в пол тяготения не зависит от траектории перемещения, т.е. илы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Если то П 2 =0, тогда запишем:,

Потенциал поля тяготения – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Т.о.:

Эквипотенциальные – такие поверхности, для которых потенциал постоянен.

Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью.

Знак мину указывает на то, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.

Если тело находится на высоте h, то

Неинерциальная система отсчёта. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

Неинерциальная – система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной системы отсчёта с ускорением.

Законы Н можно применять в неинерциальной системе отсчёта, если учесть силы инерции. Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчёта, т.е.:

Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

Т.е. угол отклонения нити от вертикали равен:

Относительно системы отсчёта, связанной с тележкой шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F ин, т.е.:

Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчёта.

Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске на разных расстояниях от оси вращения установлены маятники (на нитях подвешены шарики). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол.

В инерциальной системе отсчёта, связанной с помещением, на шарик действует сила, равная , и направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжестии силы натяжения нити:

Когда движение шарика установится, то:

т.е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения .

Относительно системы отсчёта, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой.

Сила , называемаяцентробежной силой инерции , направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна:.

Гидростатическое давление, закон Архимеда, закон неразрывности струи.

Гидроаэромеханика – раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твёрдыми телами.

Несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Давление – физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей о стороны жидкости на единицу площади:

Закон Паскаля – давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причём давление одинаково передаётся по всему объёму, занятому покоящейся жидкости.

Если жидкость не сжимаема, то при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности вес:

А давление на нижнее основание:,т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давлениеназываетсягидростатическим давлением .

Из этого следует, что давление на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, значит на тело, погружённое в жидкость действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело погружённое в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости:,

Течение – движение жидкости.Поток – совокупность частиц движущейся жидкости.Линии тока – графическое изображение движения жидкости.

Течение жидкости установившееся (стационарно) , если форма расположения линий тока, а так же значения скоростей в каждой её точке со временем не изменяются.

За 1с через сечение S 1 пройдёт объём жидкости равный , а черезS 2 - , здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость не сжимаема, то через оба сечения пройдёт равный объём:

Это и есть уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости.

Закон Бернулли.

Жидкость идеальна, движение стационарно.

За малый промежуток времени жидкость перемещается от сеченийS 1 и S 2 к сечениям S’ 1 и S’ 2 .

По закону сохранения энергии изменение полной энергии идеальной несжимаемой жидкости равно работе внешних сил по перемещению массы жидкости:,

где Е 1 и Е 2 – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S 1 и S 2 соответственно.

С другой стороны А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключённой между сечениями S 1 и S 2 , за рассматриваемый промежуток времени . Для переноса массыm от S 1 до S’ 1 жидкость должна переместится на расстояние и отS 2 до S’ 2 на расстояние .,гдеF 1 =p 1 S 1 и F 2 =-p 2 S 2 .

Законы динамики Ньютона (классическая динамика) имеют ограниченную область применимости. Они справедливы для макроскопических тел, движущихся со скоростями, много меньшими, чем скорость света в вакууме.

Формулировка первого закона Ньютона (он также известен как закон инерции ):

Первый закона Ньютона Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела или действие этих тел скомпенсировано.

В инерциальной системе отсчета тело движется равномерно и прямолинейно при отсутствии действующих на него сил.

Инерция Явление сохранения скорости движения тела при отсутствии внешних воздействий или при их компенсации называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции.

Если равнодействующая всех сил, действующих на данное тело равна нулю, то тело движется равномерно и прямолинейно или не движется вовсе. В реальности добиться равенства нулю равнодействующей силы невозможно. Но можно пренебречь некоторыми действиями и выбрать такой участок движения, когда скорость тела существенно не меняется.

Впервые закон инерции был сформулирован Галилео Галилеем (1632 г.). Ньютон обобщил выводы Галилея и включил их в число основных законов движения.

ИСО инерциальные системы отсчета - это системы отсчета, в которых выполняется 1-й закон Ньютона.

Итак, причиной изменения скорости движения тела в инерциальной системе отсчета всегда является его взаимодействие с другими телами. Для количественного описания движения тела под воздействием других тел необходимо ввести две новые физические величины – инертную массу тела и силу .

Масса

Масса – это свойство тела, характеризующее его инертность. При одинаковом воздействии со стороны окружающих тел одно тело может быстро изменять свою скорость, а другое в тех же условиях – значительно медленнее. Принято говорить, что второе из этих двух тел обладает большей инертностью, или, другими словами, второе тело обладает большей массой.

Если два тела взаимодействуют друг с другом, то в результате изменяется скорость обоих тел, т. е. в процессе взаимодействия оба тела приобретают ускорения. Отношение ускорений двух данных тел оказывается постоянным при любых воздействиях. В физике принято, что массы взаимодействующих тел обратно пропорциональны ускорениям, приобретаемым телами в результате их взаимодействия.

Сравнение масс двух тел.

\[ \dfrac{m_1}{m_2} =-\dfrac{a_2}{a_1} \]

В этом соотношении величины \(a_1\) и \(a_2\) следует рассматривать как проекции векторов \(a_1\) и \(a_2\) на ось OX . Знак «минус» в правой части формулы означает, что ускорения взаимодействующих тел направлены в противоположные стороны.

В Международной системе единиц (СИ) масса тела измеряется в килограммах (кг) .

Масса любого тела может быть определена на опыте путем сравнения с массой эталона (\(m_{\text{эт}} = 1 \text{кг} \) ). Пусть \(m_1 = m_{\text{эт}} = 1 \text{кг} \) . Тогда

\[ m_2=-\dfrac{a_1}{a_2} m_{\text{эт}} \]

Масса тела – скалярная величина . Опыт показывает, что если два тела с массами \(m_1 \) и \(m_2 \) соединить в одно, то масса \(m \) составного тела оказывается равной сумме масс \(m_1 \) и \(m_2 \) этих тел:

\[ M = m_1 + m_2 \]

Это свойство масс называют аддитивностью .

Сила

Сила – это количественная мера взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела. В механике Ньютона силы могут иметь различную физическую природу: сила трения, сила тяжести, упругая сила и т. д. Сила является векторной величиной, имеет модуль, направление и точку приложения .

Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодействующей силой .

Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным.

Существует 4 основных типа взаимодействия :

• гравитационное,
• электромагнитное,
• сильное,
• слабое.

Все взаимодействия являются проявлениями этих основных типов.

Примеры сил: сила тяжести, сила упругости, вес тела, сила трения, выталкивающая (архимедова) сила, подъемная сила.

Что такое сила? Сила - мера воздействия одного тела на другое.

Сила - векторная величина. Сила характеризуется:

• модулем (абсолютной величиной);
• направлением;
• точкой приложением.

Для измерения сил необходимо установить эталон силы и способ сравнения других сил с этим эталоном.

В качестве эталона силы можно взять пружину, растянутую до некоторой заданной длины. Модуль силы F 0, с которой эта пружина при фиксированном растяжении действует на прикрепленное к ней тело, называют эталоном силы . Способ сравнения других сил с эталоном состоит в следующем: если тело под действием измеряемой силы \(\vec{F} \) и эталонной силы \(\vec{F_0} \) остается в покое (или движется равномерно и прямолинейно), то силы равны по модулю \(\vec{F} \) = \(\vec{F_0} \) .

Сравнение силы \(\vec{F} \) с эталоном. \(\vec{F} \) = \(\vec{F_0 } \)

Если измеряемая сила \(\vec{F } \) больше (по модулю) эталонной силы, то можно соединить две эталонные пружины параллельно. В этом случае измеряемая сила равна \(\vec{ 2 F_0 } \) . Аналогично могут быть измерены силы \(\vec{ 3 F_0 } \) , \(\vec{ 4 F_0 } \) и т. д.

Сравнение силы \(\vec{F } \) с эталоном. \(\vec{F} \) = \(\vec{2 F_0} \)

Измерение сил, меньших \(\vec{2 F_0} \)

Сравнение силы \(\vec{F } \) с эталоном. \(\vec{F} \) = \(\vec{2 F_0} \cos (\alpha) \)

Эталонная сила в Международной системе единиц называется Ньютон(Н) .

Сила в 1 Н сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2

Размерность [Н]

\[ 1\text{Н} = 1\dfrac{\text{кг}\cdot \text{м}}{\text{с}^2} \]

На практике нет необходимости все измеряемые силы сравнивать с эталоном. Для измерения сил используют пружины, откалиброванные описанным выше способом. Такие откалиброванные пружины называются динамометрами . Сила измеряется по растяжению динамометра.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Говорится о поведении тела, изолированного от воздействия других тел. Второй закон говорит о прямо противоположной ситуации. В нем рассматриваются случаи, когда тело или несколько тел воздействуют на данное.

Оба эти закона описывают поведение одного конкретного тела. Но во взаимодействии всегда участвуют минимум два тела. Что будет происходить с обоими этими телами? Как описать их взаимодействие? Анализом этой ситуации и занялся Ньютон после формулировки своих первых двух законов. Займемся и мы такими же изысканиями.

Взаимодействие двух тел

Мы знаем, что при взаимодействии воздействуют друг на друга оба тела. Не бывает такого, чтобы одно тело толкнуло другое, а второе в ответ никак не отреагировало бы. Такое может происходить среди по-разному воспитанных людей, но никак не в природе.

Мы знаем, что если мы пинаем мяч, то мяч в ответ пинает нас. Другое дело, что мяч имеет намного меньшую массу, чем тело человека, и потому его воздействие практически не ощутимо.

Однако, если вы попробуете пнуть тяжелый железный мяч, то живо ощутите это ответное воздействие. Фактически, мы каждый день по многу раз пинаем очень и очень тяжелый мяч нашу планету. Мы толкаем ее каждым своим шагом, только при этом отлетает не она, а мы. А все потому, что планета в миллионы раз превосходит нас по массе.

Соотношение сил во взаимодействии между телами

Так что из этих рассуждений видно, что при взаимодействии двух тел, не только первое действует на второе с некоторой силой, но и второе в ответ действует на первое также с некоторой силой. Возникает вопрос: а как соотносятся эти силы? Какая из них больше, какая меньше?

Для этого необходимо проделать некоторые измерения. Потребуются два динамометра, но в домашних условиях их вполне могу заменить два безмена. Они измеряют вес, а вес это тоже сила, только выраженная в единицах массы в случае безмена. Поэтому, если у вас есть два безмена, то проделайте следующее.

Один из них оденьте колечком на что-то неподвижное, например, на гвоздь в стене, а второй соедините с первым крючками. И потяните за колечко второго безмена. Проследите за показаниями обоих приборов. Каждый из них покажет силу, с которой на него воздействует другой безмен.

И хотя мы тянем только за один из них, окажется, что показания обоих, как на очной ставке, будут совпадать. Получается, что сила, с которой мы воздействуем вторым безменом на первый, равна силе, с которой первый безмен воздействует на второй.

Третий закон Ньютона: определение и формула

Сила действия равна силе противодействия . В этом и состоит суть третьего закона Ньютона. Определение его таково: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Третий закон Ньютона можно записать в виде формулы:

F_1 = - F_2,

Где F_1 и F_2 силы действия друг на друга соответственно первого и второго тела.

Справедливость третьего закона Ньютона была подтверждена многочисленными экспериментами. Этот закон справедлив как для случая, когда одно тело тянет другое, так и для случая, когда тела отталкиваются. Все тела во Вселенной взаимодействуют друг с другом, подчиняясь этому закону.

inertia - «бездеятельность», «косность»), то есть явление сохранения скорости, если внешние воздействия на них скомпенсированы.

Первый закон Ньютона с точки зрения современных представлений можно сформулировать так: существуют такие системы отсчета, относительно которых тело (материальная точка) при отсутствии на него внешних воздействий (или при их взаимной компенсации) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Системы отсчёта, в которых выполняется закон инерции, называют инерциальными системами отсчёта (ИСО).

Явлением инерции также является возникновение фиктивных сил инерции в неинерциальных системах отсчета.

Впервые закон инерции был сформулирован Галилео Галилеем , который после множества опытов заключил, что для движения свободного тела с постоянной скоростью не нужно какой-либо внешней причины. До этого общепринятой была иная точка зрения (восходящая к Аристотелю): свободное тело находится в состоянии покоя, а для движения с постоянной скоростью необходимо приложение постоянной силы.

Принцип относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчета все физические процессы протекают одинаково(если условия для всех тел одинаковы). В системе отсчета, приведенной в состояние покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета (условно - «покоящейся») все процессы протекают точно так же, как и в покоящейся системе.

Следует отметить что понятие инерциальной системы отсчета - абстрактная модель (некий идеальный объект рассматриваемый вместо реального объекта. Примерами абстрактной модели служат абсолютно твердое тело или невесомая нить), реальные системы отсчета всегда связаны с каким-либо объектом и соответствие реально наблюдаемого движения тел в таких системах с результатами расчетов будет неполным.

См. также

Литература

Ссылки

• Masreliez, C J; Dynamic incremental scale transition with application to physics and cosmology , Physica Scripta (oct 2007)
• Masreliez C. J. , Motion, Inertia and Special Relativity - a Novel Perspective, Physica Scripta, (dec 2006)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Первый закон ньютона" в других словарях:

Закон инерции (Первый закон Ньютона): свободное тело, на которое не действуют силы со стороны других тел, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения (понятие скорости здесь применяется к центру масс тела в случае… … Википедия

Закон инерции (Первый закон Ньютона): свободное тело, на которое не действуют силы со стороны других тел, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения (понятие скорости здесь применяется к центру масс тела в случае… … Википедия

Законы Кеплера семейство физических законов, открытых Иоганном Кеплером, описывающих движение планет вокруг Солнца. Первый закон Кеплера (Закон эллипсов) Первый закон Кеплера. Каждая планета Солнечной системы обращается по … Википедия

В физике первый закон Ньютона. см. статью Инерция Закон инерции в математике см. раздел «Свойства» в статье «Квадратичная форма» (закон инерции Сильвестра) … Википедия

ЗАКОН ИНЕРЦИИ - см … Большая политехническая энциклопедия

Классическая механика Второй закон Ньютона История… Фундаментальные понятия Пространство · Время · … Википедия

Три закона, лежащие в основе т. н. классич. механики или механики Ньютона. Сформулированы И. Ньютоном (1687). Первый закон: «Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку… … Физическая энциклопедия

Механики, три закона, лежащие в основе так называемой классической механики. Сформулированы И. Ньютоном (1687). Первый закон: Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку … Современная энциклопедия

Ньютона законы - механики, три закона, лежащие в основе так называемой классической механики. Сформулированы И. Ньютоном (1687). Первый закон: “Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Книги

• Увлекательная физика (CDmp3) , . Ребят ждёт первое знакомство с необыкновенно интересной и важной наукой - физикой. В увлекательном и весёлом путешествии маленькие слушатели вместе с Чевостиком узнают, почему предметы на…